СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

 

Векторные поля - отображения одного векторного пространства в другое.

Скалярные поля - функции на векторном пространстве.

 

Диссипативная функция (функция рассеяния) — функция, вводимая для учёта перехода энергии упорядоченного движения в энергию неупорядоченного движения, в конечном счёте — в тепловую (такой переход, например, имеет место при воздействии на механическую систему сил вязкого трения).

Диссипативная функция характеризует скорость убывания (рассеяния) механической энергии системы и имеет размерность мощности. Диссипативная функция, делённая на абсолютную температуру, определяет скорость, с которой возрастает энтропия (мера неопределённости какого-либо опыта (испытания)) в системе.

Уравнения Навье-Стокса - система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости, состоящая из уравнения движения (векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды.) и уравнения неразрывности (оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объёме, то есть непрерывность потока жидкости или газа).

Часто уравнениями Навье-Стокса называют только одно векторное уравнение движения.

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

, (3.1)

 

где - оператор набла (оператор Гамильтона), - векторный оператор Лапласа, - время, - коэффициент кинематической вязкости, - плотность, - давление,

- векторное поле скоростей, - векторное поля массовых сил (т.е. сил, действующих на каждый элементарный объём вещества и пропорциональных массе вещества, заключённого в этом объёме - силы тяготения, силы инерции и т.д.).

Оператор набла (оператор Гамильтона) - векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам.

Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат оператор набла определяется следующим образом:

 

, (3.2)

 

где - единичные векторы (орты) по осям соответственно.

Если вектор скалярно умножить на скаляр , то получится вектор:

 

, (3.3)

 

который представляет собой градиент функции .

Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр:

 

, (3.4)

то есть дивергенция вектора .

Если вектор векторно умножить на вектор , то получится ротор вектора :

(3.5)

 

Векторный оператор Лапласа (или векторный лапласиан) — это векторный дифференциальный оператор, определённый над векторным полем, аналогичный скалярному оператору Лапласа.

Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах, получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного Лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Векторный оператор Лапласа некоторого векторного поля определяется следующим образом:

1) Через оператор набла: ;

2) Через градиент, дивергенцию и ротор: .

Градиент (растущее поле) – определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля (скаляр-вектор). Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве (рис. 3.1).

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.

Использовав единичные вектора по осям прямоугольных декартовых координат , получаем следующее

. (3.6)

 

Дивергенция (расхождение) – линейный дифференциальный оператор, характеризующий расходимость, источники и стоки векторного поля (вектор-скаляр).

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

С точки зрения физической интерпретации (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (точнее достаточно малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля (рис. 3.2):

- точка поля является источником;

- точка поля является стоком;

- стоков или источников нет либо они компенсируют друг друга.

Согласно геометрической интерпретации, если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Ротор (вихрь) - векторный дифференциальный оператор, характеризует вихревую составляющую векторного поля (вектор-вектор).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:

. (3.7)

 

Лапласиан – сочетание дивергенции и градиента (скаляр-скаляр):

 

. (3.8)

 

Ротор и дивергенция - для векторных полей.

Градиент, лапласиан - для скалярных полей.

 

Тензор - объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого.

Тензор обычно обозначают некоторой буквой с совокупностью верхних (контрвариантных) и нижних (ковариантных) индексов: . При смене базиса (системы координат) ковариантные компоненты меняются так же, как и базис (с помощью того же преобразования), а контравариантные - обратно изменению базиса (обратным преобразованием).

В качестве примера тензор механического напряжения второго ранга, компоненты которого в трёхмерной декартовой системе координат образуют матрицу представлен в следующем виде:

столбцами которой являются силы, действующие на грани исследуемого куба.

 

- Тензор ранга (0,0) есть скаляр - величина, каждое значение которой может быть выражено одним числом;

- Тензор ранга (1,0) есть вектор (контравариантный вектор) - это элемент пространства , которое изоморфно (наличие биекции – взаимно-однозначного отображения (соответствия)) пространству ;

- Тензор ранга (0,1) есть ковектор (ковариантный вектор), то есть элемент пространства, которое изоморфно проекции (отображение точек пространства на его подпространство любой размерности) ;

Касательное расслоение

 

В линейной алгебре, ковариантный вектор на векторном пространстве - это то же самое, что и линейный функционал на этом пространстве

В дифференциальной геометрии, ковариантный вектор на дифференцируемом многообразии это гладкое сечение кокасательного расслоения

- Тензор ранга (0,2) есть билинейная форма, например, метрический тензор (это симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д.), например , , и т.д.

- Тензор ранга (1,1) есть линейный оператор или .

Линейный оператор - обобщение линейной числовой функции .