Лаг (lag) - расстояния, которые выбираются для поиска пар точек при расчете моментов второго порядка (вариограммы): .

. (2.10)

где стандартные отклонения для точек, находящихся соответственно в начале и в конце вектора :

. (2.11)

. (2.12)

Очень часто в реальных данных наблюдается эффект пропорциональности, при появлении зависимости между средним и вариограммой . Эффект пропорциональности значительно усложняет понимание результата анализа пространственного корреляционного анализа, внося в вариограмму дополнительную зависимость.

Этот эффект можно с помощью вычисления локальных статистических характеристик - среднего и вариации, когда последнее (вариация) демонстрирует явное детерминированное поведение:

. (2.13)

где - локальное стандартное отклонение, - локальное среднее значение.

Для этого используется метод движущегося окна.

Статистика движущегося окна () - это подсчет описанной выше статистики, но не для всей области данных в целом, а в ее подобластях (окнах). Такой метод очень полезен для поиска зон аномальных средних значений и при наличии зон различной вариации значений ().

Метод состоит в разбиении области данных на несколько одинаковых, обычно прямоугольных окрестностей - окон. Размер окна зависит от среднего расстояния между точками. Хорошим компромиссом между большими и маленькими окнами являются перекрывающиеся окна. При этом два соседних окна имеют несколько общих точек. Это повышает количество окон при достаточно большом их размере, дающем достоверную статистику.

Таким образом, мы как бы берем в руки «окно-лупу» и рассматриваем всю область, передвигая по ней окно. Статистические характеристики вычисляются для каждого поднабора данных, попавших в отдельное окно.

При наличии эффекта пропорциональности предлагается использовать относительные вариограммы, которые нивелируют (устраняют особенности) эффект пропорциональности.

Можно выделить два вида относительных вариограмм ():

6. Общая относительная вариограмма ( ):

. (2.14)

когда вариограмма просто нормируется на квадрат среднего значения данных, разделенных вектором ;

7. Парная относительная вариограмма (pairwise relative variogram):

. (2.15)

когда нормировка на квадрат среднего производится для каждой конкретной пары данных отдельно.

Функции для моделирования вариограмм должны обладать определёнными свойствами. В перечень допустимых функций входят: Линейная, Круговая, Сферическая, Тетрасферическая, Пентасферическая, Экспоненциальная, Логарифмическая, Гауссова, Рациональная квадратическая, Модель с эффектом дыр, Базовая синусоидальная модель.

1. Линейная функция вариограммы:

2. Сферическая функция вариограммы:

3. Логарифмическая функция вариограммы:

4. Квадратичная функция вариограммы:

5. Круговая функция вариограммы:

6. Экспоненциальная функция вариограммы:

7. Гауссова функция вариограммы:

Для тех случаев, если , тогда модельную функцию рассматривают как

.

Здесь – радиус влияния или лаг (range), – эффект самородка (nugget effect),

– порог (sill), - относительный эффект самородка (relative nugget).

Для зависимостей 1,3,6,7 порог .

Выбор параметров и типа модельной вариограммы при фиксированном радиусе влияния может быть сделан как визуально, путем изучения графиков выборочной и модельных вариограмм, так и автоматически с помощью метода наименьших квадратов.

Наличие эффекта самородка обычно хорошо определяется по графику выборочной вариограммы (при подходе к нулю функция стремится к некоторой константе, отличной от нуля). В связи с этим, часто при автоматическом выборе параметров значение фиксируют , а ищут только .

Начальное значение радиуса влияния обычно выбирают равным значению , при котором график выборочной вариограммы впервые пересекает горизонтальную прямую, проведенную на уровне общей дисперсии показателя, вычисленной по всей совокупности значений в опорных точках. Эту горизонтальную прямую всегда рисуют на графиках вариограмм, так как считается, что на расстояниях, при которых значение функции вариограммы превосходит общую дисперсию, взаимовлияние между точками отсутствует.

Иногда применяют и нелинейные методы оптимизации для одновременного поиска всех параметров . В этом случае желательно проконтролировать найденные параметры визуально из-за возможного наличия нескольких локальных минимумов целевой функции.

Правильному выбору типа модельной вариограммы может помешать наличие глобального тренда в исходных данных. Выборочная вариограмма при этом обычно все время возрастает с ростом и ведет себя как выпуклая вниз парабола или экспонента, тогда как при отсутствии тренда выборочная вариограмма сначала возрастает с ростом приблизительно до значения общей дисперсии, а с дальнейшим увеличением расстояния продолжает колебаться вокруг этого значения.

В таких случаях необходимо строить тем или иным способом (обычно методом наименьших квадратов) тренд по опорным точкам, последовательно увеличивая его степень, вычитать его из исходных данных и изучать вариограмму остатков, то есть, в терминах универсального кригинга постараться найти детерминированную составляющую случайного процесса.

Если же с помощью обычных полиномов этого сделать не удается, можно попробовать тригонометрические полиномы или использовать в качестве базисных функций системы ортогональных полиномов.

Моделирование при наличии тренда можно выполнять с как с помощью ординарного кригинга по остаткам, прибавляя к полученному результату вычтенный ранее тренд, так и с помощью универсального кригинга, используя в качестве базисных функций дрифта те же, что и в найденном тренде.

Следует отметить, что при создании цифровых моделей показателя приходится решать систему уравнений кригинга для каждого узла регулярной сетки.

Кроме того, при большом количестве опорных точек (>300-500 для двойной точности) численное решение системы линейных уравнений становится неустойчивым, а при количестве в несколько тысяч и вовсе невозможным.

В таких случаях прибегают к следующему приему. В уравнениях кригинга используют не все опорные точки, а только те, которые попали в заданную окрестность точки, в которой мы ищем оценку. Окрестность задается радиусом поиска (search radius) и, в принципе, может иметь эллиптическую форму в соответствии с выбранными параметрами анизотропии.

Для того чтобы среди отобранных точек были представлены по возможности все направления, область поиска часто разбивают на несколько секторов (обычно 4 или 8) и константы , применяют для каждого сектора.

Такой прием позволяет существенно снизить размерность решаемых систем уравнений и повысить скорость вычислений. Но здесь есть и свои проблемы. Дело в том, что при таком отборе точек моделируемая функция формально становится разрывной. Это приводит к появлению на построенной модели линий, на которых происходит заметный скачок функции, обусловленный только неравномерностью расположения точек, а не природой самого показателя.

Наибольшее влияние на результат кригинга оказывает поведение модельной вариограммы вблизи начала координат. Чем круче кривая у начала координат, тем большее влияние на искомый результат оказывают ближайшие соседи (опорные точки). В итоге результирующая поверхность будет менее гладкой.

А) Б)

Рис. 2.5. А) Сферическая и Б) Экспоненциальная модели вариограмм

Сферическая модель имеет 2 параметра – радиус влияния и порог, равный общей дисперсии признака. Математически сферическая модель описывает левый верхний квадрант эллипса.

Экспоненциальная модель похожа на сферическую, но вблизи начала координат она восходит сначала более круто, чем сферическая, а затем, наоборот, имеет более пологий подъём и выходит на порог на расстоянии 3-х радиусов влияния.

Рис. 2.6. Модель вариограмм при разных эффектах самородков

Рис. 2.7. Интерполяция без учета анизотропии (левая часть) и с учетом анизотропии (правая часть)

Основное влияние на расчеты с использованием вариограмм оказывает коэффициент радиус влияния.

На практике, стадии процесса создания вариограммной модели исследуемого объекта будут следующие:

-анализ, контроль и группировка исходной информации;

-построение экспериментальных вариограмм;

-исследование полученных функций на наличие различных эффектов;

-создание пространственной модели вариограммы.

Для реальных геологических объектов используется экспоненциальная модель, так как она более точно описывает природные процессы