Реализация математической модели цифровой системы в переменных состояния с помощью пакетов MatLab, MathCAD.

Для реализации модели в переменных состояния с помощью пакета MathCAD используем разностные уравнения, которые можно рассчитать по синтезированной структурной схеме с вводом новых переменных (рис. 11):

рис. 11

Запишем уравнения для каждого элемента входящего в систему.

Преобразуем полученные уравнения в линейные, используя замену: X*Z -> X(n+1), X ->X(n). Перенесём переменные с (n) вправо, с (n+1) влево.

Переносим найденные уравнения в MathCAD:

 

 

 

 

Результат выполнения программы на рис. 12.

рис. 12

Не трудно заметить, что график вышел из 5%-ной зоны, то есть какие-то переменные были некорректно округлены. Этого можно избежать находя z-изображения через прямое z-преобразование того же MathCAD. Однако система осталась устойчива, перерегулировка невелика, по этому считаем результат достигнутым.

Теперь построим модель в переменных состояния. Для этого найдём передаточную функцию всей системы:

Передаточная функция разомкнутой системы W123:

Передаточная функция замкнутой системы Ws:

Найденная передаточная функция показывает связь между входом и выходом системы:

Отсюда разностное уравнение во временной форме:

Z-изображение управляемой величины:

Структурная схема ЦСАУ в переменных состояния показана на рис. 13.

u(n)

 

Σ

x3(n) x2(n) x1(n)

 

рис. 13

По структурной схеме записываем разностные уравнения:

Матрицы состояния:

В нашем уравнении:

a2 = -2.953812; a1 = 2.908705; a0 = -0.954890;

b1 = 0.0009633; b0 = -0.0009607;

Смоделируем систему в приложении Simulink (рис. 13-14):

График переходной функции совпадает с графиками полученными при создании аналоговых моделей. Система устойчива и не выходит и допустимой зоны перерегулирования.

рис. 13

Рис. 14