Билет 10. влиянию французского реализма

влиянию французского реализма. В творениях масте­ров так называемой Школы ре­ки Гудзон сказывается также воздействие Констебла, его концепции природы как вопло­щения истины и моральных ценностей.

Джордж Калеб Бингем (1811-1879) изобра­жает торговцев и путешествен­ников, застывших в правиль­ных позах посреди безмятеж­ного, напоенного светом пейза­жа. В панораме американской живописи мелькают порой сце­ны из жизни северных индей­цев, батальные сюжеты войны за независимость автор этих полотен — Франк Бухсер (1828-1890).

Героизм повсед­невной жизни рыбаков стал из­любленной темой Уинслоу Хомера (1836-1910).

Натюр­морты Мартина Джонсона Хида (1819-1904) изображают флору и фауну Америки, а его пейзажи — свинцовое небо и мрачное, грозное море. Натюр­морту отдавал предпочтение Йозеф Деккер (1853-1924) Уильям Майкл Харнетт (1848-1892) создавал «обманки», то есть в высшей степени реалис­тические натюрморты с кури­тельными трубками, скрипка­ми, письмами и пистолетами, развешанными на нейтраль­ном фоне. ^[2]

Живопись, распро­страняясь по миру в виде ко­пий формировала вкусы бур­жуазии XIX века. Вкусы эти укоренились в народе вплоть до нашего времени.

 

 

 

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Билет 10

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство. Пусть а1 и а2 — две параллельные прямые и — плоскость, перпендикулярная прямой а1 (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2.

Проведем через точку A2 пересечения прямой а2 с плоскостью произвольную прямую x2 в плоскости . Проведем в плоскости через точку А пересечения прямой а с прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а, перпендикулярна плоскости , то прямые а и х перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а, перпендикулярна любой прямой х, в плоскости . А это значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

2 Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Билет 11

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Доказательство:. Допустим, чтоaпусть а и в - две прямые, перпендикулярные плоскости прямые а и в не параллельны. Тогда существует некая прямая в1.aпараллельная а. Выберем на прямой в точку С, не лежащую в плоскости Проведем через точку С прямую в1, параллельную а. Прямая в1 (теорема 17.3). пусть В и В1 - точкиaперпендикулярна плоскости. Тогда прямая ВВ1aпересечения прямых в и в1 с плоскостью перпендикулярна пересекающимся прямым в и в1. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. ЧТД.

 

Билет 12

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Доказательство. Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию на плоскость, проходящую через одну из его сторон (рис. 394). Проекцией треугольника ABC является треугольник АВС₁ в плоскости . Проведем высоту CD треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах отрезок C\D — высота треугольника АВС₁. Угол CDC₁ равен углу между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции . Имеем:

Таким образом, в рассматриваемом случае теорема верна. Теорема верна и в случае, когда вместо плоскости а взята любая параллельная ей плоскость.

2 Тетра́эдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Билет 13

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Доказательство

Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c. Допустим, что a не параллельна b, тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке A, не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b, проходящие через точку A, не лежащую на данной прямой c, и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана.

 

2. Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между её основанием, боковыми гранями и сечением этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию.