Элементы техники вычислений

Точные и приближенные числа. Точные числа получаются при счете отдельных предметов и понятий (пример: 27 шариков, 45 шагов); точными числами являются масштабные коэффициенты (пример: 1 м = 100 см = 1000 мм, масштаб карты равен 1:25000) или целые числа, условно присваиваемые границам физических интервалов (пример: температура таяния льда 0^o C, температура кипения воды 100^o C). Приближенные числа в геодезии получают, как правило, из измеререний; считается, что записанное приближенное число ошибочно не более, чем на половину единицы последнего разряда:

2.145 - ошибочно на 0.0005,
2145 - ошибочно на 0.5 и т.д.

Значащие цифры числа. Все цифры числа кроме нулей слева являются значащими:

4.147 - 4 значащих цифры,
0.004147 - 4 значащих цифры,
40.00 - 4 значащих цифры.

Верными значащими цифрами приближенного числа считаются те цифры, значение которых больше ошибки этого числа. Количество верных значащих цифр в результате операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня определяется наименьшим количеством верных значащих цифр в исходных числах:

2.457 * 0.62 = 1.52334 = 1.5,
(4) (2) (2)
2.457: 0.62 = 3.96290 = 4.0,
(4) (2) (2)
2.45² = 6.0025 = 6.00,
(3) (3)
= 1.5652 = 1.57.
(3) (3)

При выполнении этого правила применяется округление приближенных чисел, которое предусматривает, что:

• если первая отбрасываемая цифра больше 5 или 5 с последующими цифрами не равными нулю, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу (2.4617 ~ 2.5, 2.4523 7~ 2.5),
• если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставляемая цифра не изменяется (2.4417 ~ 2.4),
• если первая отбрасываемая цифра есть 5 и за ней либо нет цифр, либо есть одни нули, то последняя оставляемая цифра округляется до четной (пример: 2.55 = 2.6, 2.65000 = 2.6).

При записи очень большого или очень маленького числа с небольшим количеством верных значащих цифр рекомендуется использовать степень числа 10 (пример: 2.47*10⁶, 0.45*10^-8).

При сложении и вычитании приближенных чисел количество верных десятичных знаков в ответе определяется наименьшим количеством десятичных знаков в исходных числах:

206.8 (1 дес. знак)
+ 21.385 (3 дес. знака)
0.2751 (4 дес. знака)
228.4601 = 228.5 (1 дес. знак).

Если в задаче более одной арифметической операции, то в результатах промежуточных операций рекомендуется оставлять одну запасную цифру (для уменьшения ошибок округления).

Системы единиц для измерения углов:

1. Градусная система.

Градус - это 1/90 часть прямого угла,
минута - это 1/60 часть градуса,
секунда - это 1/60 часть минуты,
1^o = 60' = 3600".

Полная форма записи угла:124^o12'14.63", 124^o12'00".
1-я сокращенная форма записи угла 124^o12.244'.
2-я сокращенная форма записи угла 124.2047^o.

1. Радианная система. Радиан - это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Полный угол в 360^o содержит 2π радианов.
   Переход от радианной системы к градусной и обратно:

Значения переходного коэффициента ρ:

1. Градовая система.

Град - это 1/100 часть прямого угла,
сантиград - это 1/100 часть града,
сантисантиград - это 1/100 часть сантиграда,
1 град = 100 с = 10000 сс.

Существуют еще часовая система измерения углов, система делений угломера и некоторые другие.

При нахождении тригонометрических функций угла нужно соблюдать соответствие между значением угла и количеством значащих цифр в значении функции:

• угол задан до целых минут - 4 - 5 значащих цифр,
• угол задан до десятых долей минуты - 5 - 6 значащих цифр,
• угол задан до целых секунд - 6 значащих цифр,
• угол задан до десятых долей секунды - 7 значащих цифр.

Приведем некоторые правила оформления геодезических вычислений:

• все вычисления следует размещать в таблицах или ведомостях,
• написание цифр должно быть аккуратным и четким, исключающим неоднозначное прочтение; желательно использование шрифтов,
• записи однородных чисел следует располагать столбиками разряд под разрядом; количество значащих цифр и десятичных знаков должно соответствовать правилам техники вычислений,
• исходные данные рекомендуется выделять цветом или подчеркиванием,
• записи в таблицах и ведомостях не должны иметь видимых исправлений; неверно написанную цифру нужно аккуратно удалить и на этом месте написать верную цифру,
• в полевых журналах запрещается исправлять первичные отсчеты, а вычисления можно исправлять, аккуратно зачеркивая неверные цифры и надписывая сверху верные,
• все приращения координат, превышения, невязки и поправки следует писать со знаком ("плюс" или "минус").

Здесь уместно вспомнить слова известного геодезиста В.В. Витковского: "Чьи вычисления представляют изящно расположенные столбцы красивых цифр, тот почти всегда правильно и быстро вычисляет. Наоборот, чьи вычисления разбросаны в беспорядке, а сами цифры поражают своей уродливостью, тот почти всегда путается и вычисляет с ошибками".