Распределение молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла).

Молекулы газа, двигаясь хаотически, сталкиваются между собой. В результате столкновений величина скорости каждой из молекул может меняться. Проследив за движением одной из молекул, мы «увидели» бы, что в какие-то моменты времени она движется быстрее, в какие-то - медленнее. Но при большом числе молекул и при неизменных условиях относительное число «медленных» и «быстрых» молекул остается постоянным, т. е. устанавливается распределение молекул газа по скоростям. Закон, описывающий это распределение, был найден Д. К. Максвеллом в 1859 г. и называется распределением Максвелла.

Функция распределения Максвелла устанавливает относительное число молекул, скорости которых попадают в единичный интервал скоростей вблизи v, т.е.

,

где n - общее число молекул в единице объема, т. е. концентрация; dn - число молекул в единице объема, скорости которых лежат в интервале от v до . Для однородного газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, распределение Максвелла имеет вид:

.

График этой функции показан на рис. При v®¥ асимптотически стремится к нулю. При (называемой наиболее вероятной скоростью) достигает максимума. Площадь, ограниченная графиком и осью скоростей , равна

.

Найдем выражение для наиболее вероятной скорости. Для этого необходимо взять производную от по v и приравнять ее нулю:

, или .

, ,

откуда

.

Зная функцию распределения по скоростям, можно найти среднюю арифметическую скорость молекул :

.

Введенные нами скорости , и определяются сходными выражениями, которые отличаются лишь числовыми множителями порядка единицы. Все три скорости необходимы при решении тех или иных задач статистической физики.

Экспериментальная проверка (опыт О.Штерна, 1920г.) подтвердила справедливость полученного Максвеллом закона.