Решение. 1. Находим токи i1 , i2 , i3 и напряжение uL в три момента времени t=0- , t=0+ , t=¥

1. Находим токи i₁ , i₂ , i₃ и напряжение u_L в три момента времени t =0_-, t=0 ₊ , t =¥.

1.1 Рассмотрим момент t=0 _-.Он соответствует стационарному состоянию цепи до коммутации. В этом состоянии резистор R₄ закорочен ключом К и не влияет на работу цепи. Сама схема (рис. 1.4.2. а) представляет собой цепь, в которой u_L(0)=0, поэтому она может быть рассчитана по формулам:

 

i₁(0_-)= ,

 

 

 

1.2. Рассмотрим момент . Это первое мгновение после размыкания ключа. В соответствии с законом коммутации

(4.1)

Остальные величины находим путем составления и решения системы уравнений по правилам Кирхгофа, описывающих электрическое состояние цепи в момент времени (рис. 1.4.2 б).

 

ü

ý

þ

 

После числовых подстановок с учетом (4.1) получим:

 

ü

ý

þ

 

Решая систему, находим:

 

мА, мА, В

 

1.3. Рассмотрим момент . Означает новое стационарное состояние цепи после окончания переходного процесса. Внешне схема цепи при соответствует рис. (1.4.2 б) причем , а токи рассчитываются по формулам

 

 

 

2. Расчет токов и напряжения после коммутации классическим методом.

Переходный процесс в цепях первого порядка (с одним реактивным элементом) описывается уравнением вида

(4.3)

где -принужденная составляющая искомой величины,равная ее значению при t= ; -свободная составляющая; А-постоянная интегрирования; p-корень характеристического уравнения, определяющий в конечном итоге длительность переходного процесса. Т.к. p является общей величиной для всех токов и напряжений в конкретной цепи, то расчет переходного процесса целесообразно начать с определения p.

2.1. Характеристическое уравнение для расчета корня p составляется по операторной схеме замещения, отражающей работу цепи после коммутации, и показанной на рисунке 1.4.3.

 

 

Рис. 1.4.3. Схеме замещения, отражающей работу цепи после коммутации.

 

Принимая Z(p)=0, получим характеристическое уравнение

 

Решение уравнения дает корень

 

(4.4)

 

Величина

(4.5)

 

называется постоянной времени цепи.

 

2.2. Расчет тока i₂(t)

 

В соответствии с (6.3) запишем:

Учтем, что i_пр=i₂(¥)=3мА. Величину А₁ найдем из рассмотрения i₂(0₊) с учетом независимого начального условия (4.1):

 

 

Откуда A₁ =1,6-3=-1,4. Тогда

 

(4.6)

 

2.3.Расчет напряжения u_L(t).

 

Воспользуемся законом Ома для индуктивности

 

(4.7)

 

2.4. Расчет тока i₃(t). Ведется аналогично расчету тока i₂(t).

 

(4.8)

 

2.5. Проверка правильности расчетов производится путем анализа выражений (4.6), (4.7) и (4.8) в моменты времени t=0 и t=¥;.

 

Полученные значения всех величин совпадают с результатами расчетов в п.1.