Вывод волнового уравнения

Теперь можно перейти непосредственно к выводу волнового уравнения. Это можно сделать двумя способами.

 

Способ 1. Физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:

1. Газ движется, и плотность его меняется.

2. При изменении плотности меняется и давление.

3. Неравномерное распределение давления вызывает движение газа.

Рассмотрим сначала свойство (2). Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Р ₀ и плотностью ρ;₀. Давление Р зависит от плотности среды Р = f (ρ;), и в частности равновесное давление Р ₀ = f (ρ;₀). Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление принято измерять в барах (1 бар = 10⁵ н/м²). Давление в одну атмосферу приблизительно равно 1 бар (1 атм = 1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как слуховое восприятие, грубо говоря, растет по логарифмическому закону. В этой децибельной шкале уровень звукового давления I связан с амплитудой звукового давления следующим образом:

(3.1)

где давление отнесено к некоторому стандартному давлению

,

котороесоответствует абсолютному порогу слышимости человеческого слуха. Звуковое давление Р = 10³ Р _отн = 2 10^-7 бар соответствует довольно сильному звуку в 60 дБ. Таким образом, видно, что давление в звуковой волне меняется на очень малую величину в сравнении с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может превышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дБ встречается редко. Уровень силы звука в 120 дБ уже вызывает боль в ушах. Поэтому написав для звуковой волны

Р = Р ₀ + Р _и, ρ = ρ;₀ + ρ;_и (3.2)

можно считать, что изменение давления Р _и очень мало по сравнению с Р ₀, а изменение плотности ρ;_и очень мало по сравнению с ρ;₀. Тогда

Р ₀ + Р _и = f (ρ;₀ + ρ;_и) = f (ρ;₀) + ρ;_и f ' (ρ;₀), (3.3)

где Р ₀ = f (ρ;₀) и f ' (ρ;₀) – производная от f (ρ;₀), взятая при значении ρ = ρ;₀. Второе равенство здесь возможно только потому, что ρ;_и очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление Р _и пропорционально избыточной плотности ρ;_и; коэффициент пропорциональности здесь можно обозначить через κ;:

Р _и = κρ;_и, где κ; = f ' (ρ;₀) = . (3.4)

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства (2).

Перейдем теперь к свойству (1). Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть x, а звук смещает его в момент времени t на величину u (x, t), так что его новое положение есть x + u (x, t), как показано на рис. 3.1.

u (x, t)

Старый объем

Новый объем

u (x+ Δ x, t)

x

x+ Δ x

x + u (x, t),

(x+ Δ x) + u (x+ Δ x, t) + χ(x, t),

Рис. 3.1. Смещение воздуха в точке x есть u (x, t), а в точке x+ Δ x равно u (x+ Δ x, t) Первоначальный объем, приходящийся на единицу площади в плоской звуковой волне, есть Δ x, а окончательный объем равен Δ x + u (x+ Δ x, t) – u (x, t)

 

 

Далее, положение соседнего элемента объема есть x+ Δ x, и его смещенное положение есть x+ Δ x + u (x+ Δ x, t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси x, т.е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Δ x, есть ρ;₀Δ x, где ρ;₀ – невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная звуковой волной, будет находиться теперь между x + u (x, t)и x+ Δ x + u (x+ Δ x, t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что и в интервале Δ x до прихода волны. Если через ρ; обозначить новую плотность, то

ρ;₀Δ x = ρ;[ x + Δ x + u (x+ Δ x, t) – x – u (x, t)] (3.5)

Поскольку Δ x мало, можно написать u (x+ Δ x, t) – u (x, t) = (du / dx) Δ x. Здесь уже появляется частная производная, потому что u зависит и от x, и от времени. Наше уравнение принимает вид

(3.6)

или

(3.7)

Но в звуковой волне все изменения очень малы, так что ρ;_и мало, u мало и du / dx тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

(3.8)

можно пренебречь (du / dx) по сравнению с (du / dx). Так мы приходим к соотношению, которое требовалось согласно свойству (1):

. (3.9)

Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных x, то плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если смещение u растет с ростом x, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.

Теперь нам нужно найти третье уравнение – уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотношение между силой и давлением, можно получить уравнение движения. Возьмем объем воздуха толщиной Δ x и с единичной площадью грани, перпендикулярной x, тогда масса воздуха в этом объеме есть ρ;₀Δ x, а ускорение воздуха есть d ² u / dt ², так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть ρ;₀Δ x (d ² u / dt ²). (Если Δ x мало, то безразлично, где брать ускорение – на краю слоя или где-нибудь посередине). Сила, действующая на единичную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна ρ;₀Δ x (d ² u / dt ²). В точке x мы имеем силу P (x, t), действующую на единицу площади в направлении + x, а в точке x+ Δ x возникает сила, действующая в обратном направлении и по величине равная P (x+ Δ x, t) (рис. 3.2):

(3.10)

 

Δ x

P (x, t)

P (x+ Δ x,t)

x

Рис. 3.2. Результирующая сила, действующая в направлении оси x, и возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси x, равна – (dP / dx)Δ x

 

 

Мы здесь учли, что Δ x мало и что только избыточное давление Р _и меняется в зависимости от x. Итак, в соответствии со свойством (3) мы получаем

(3.11)

Теперь уравнений уже достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем x. Можно выразить Р _и в (3.11) с помощью (3.4):

, (3.12)

а затем исключить ρ;_и с помощью (3.9). Тогда ρ;₀ сократится и у нас останется

(3.13)

Обозначим тогда можно написать

(3.14)

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распространение звука в среде.