Трилатерация. Решение треугольников

Трилатерация (от лат. trilaterus — трёхсторонний) — метод определения положения геодезических пунктов путём построения на местности системы смежных треугольников, в которых измеряются длины их сторон[1]. Является одним из методов определения координат на местности наряду с триангуляцией (в которой измеряются углы соответствующих треугольников) и полигонометрией (производится измерение как углов, так и расстояний).

Математический вывод

В геометрии трехмерная проблема трилатерации представляет собой нахождение координат точки пересечения трех сфер, которые определяются путём решения системы уравнений. Чтобы упростить вычисления, полагаем, что центры всех трех сфер лежат в плоскости z = 0, один из них совпадает с началом координат, второй — лежит на оси x. Наложеные ограничения не уменьшают общности: к такому виду может быть приведена любая система соответствующих уравнений путем перехода к другой системе координат. Чтобы найти решение в исходной системе координат, к решению, найденному в этой (приведенной) системе координат, применяются преобразования, обратные к тем, которые позволили исходное множество из трех точек привести в соответствие с ограничениями.

Трилатерация представляет собой сплошную сеть примыкающих один к другому треугольников, в которых измеряют длины всех сторон; два пункта, как минимум, должны иметь известные координаты (рис.2.25).

Решение первого треугольника трилатерации, в котором известны координаты двух пунктов и измерены две стороны, можно выполнить по формулам линейной засечки, причем нужно указывать справа или слева от опорной линии AB располагается пункт 1. Во втором треугольнике также оказываются известными координаты двух пунктов и длины двух сторон; его решение тоже выполняется по формулам линейной засечки и так далее. Можно поступить и по-другому: сначала вычислить углы первого треугольника по теореме косинусов, затем, используя эти углы и дирекционный угол стороны AB, вычислить дирекционные углы сторон A1 и B1 и решить прямую геодезическую задачу от пункта A на пункт 1 и от пункта B на пункт 1. Таким образом, в каждом отдельном треугольнике "чистой" трилатерации нет избыточных измерений и нет возможности выполнить контроль измерений, уравнивание и оценку точности; на практике кроме сторон треугольников приходится измерять некоторые дополнительные элементы и строить сеть так, чтобы в ней возникали геометрические условия.

Уравнивание сплошных сетей трилатерации выполняется на ЭВМ по программам, в которых реализованы алгоритмы МНК.