Понятия о весах измерений. Общая арифметическая средина

Если измерения выполнялись не в одинаковых условиях, то результаты нельзя считать одинаково надежными. Такие измерения называют неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным и техническим теодолитом. Результаты данных измерений будут неравноточными.

 

Мерой сравнения результатов при неравноточных измерениях, т.е. мерой относительной ценности полученных неравноточных результатов является вес результата измерения.

 

Вес выражает как бы степень доверия, оказываемого данному результату по сравнению с другими результатами.

 

Чем надежнее результат, тем больше его вес. Вес определяется как величина обратная квадрату средней квадратической ошибки

 

Если, например, имеется два неравноточных значения длины линии 220,35 ± 0,1 м, 220,35 ± 0,2 м, то в качестве весов Р1 и Р2 могут быть приняты числа:

 

Веса можно умножать или делить, но на одно и тоже число. Разделив вычисленные в примере веса на 25, получим р1 = 4 и р2 = 1.

 

Так как р1 > р2, то первое измерение более точное.

 

Допустим имеется ряд равноточных результатов измерений, для которых рассчитаны средняя квадратическая ошибка m, среднее арифметическое ряда измерений и средняя квадратическая ошибка М. На основании определения веса, весом p отдельного измерения и весом арифметической средины P будут

Умножив веса на m 2, имеют Р = 1, Р = n, следовательно, вес арифметической средины больше веса отдельного измерения в n раз, n – число измерений, из которых вычислена данная арифметическая средина.

Иначе, весом результата измерения называется число равноточных измерений, из которых получен данный неравноточный результат измерения как среднее арифметическое.

 

Рассмотрим вывод формулы общей арифметической средины или весового среднего.

 

Пусть величина имеет ряд равноточных измерений:

 

Р1, Р2..... Рк, - не одинаковое число измерений. Так как измерения равноточные, то для получения вероятнейшего значения, необходимо образовать из всех результатов измерений среднее арифметическое

 

Разбив теперь рассматриваемый ряд равноточных измерений на k групп, образуем средние арифметические по группам L', L''..... L(к). Полученные арифметические средние можно рассматривать как новые результаты измерений той же величины, но уже неравноточные. Таким образом, вместо первоначального ряда равноточных измерений для некоторой величины мы получили новый ряд неравноточных измерений L', L''..... L(к), с весами Р1, Р2..... Рк. По данным неравноточным измерениям арифметическое среднее l p определяют по формуле

Полученное значение называется общей арифметической среди-ной или весовым средним.

 

Общая арифметическая средина из данных неравноточных измерений равна сумме произведений каждого измерения на его вес, разделенной на сумму весов. Она является вероятнейшим значением измеряемой величины.

Аналогично тому, как при равноточных измерениях, для оценки точности отдельного результата и арифметической средины, при оценке неравноточных измерений определяют среднюю квадратическую ошибку единицы веса

 

и среднюю квадратическую ошибку весового среднего

 

где – уклонения отдельных результатов измерений от общей арифметической средины. Для контроля правильности вычислений используется свойство

 

Для контроля правильности вычислений используется свойство