Физическая геодезия

Таблица 1. Физические параметры Земли ПЗ-90

 

Параметр	Значение
fM	398 600,441 09 м3/с2
ω	7 292 11 5- Ю-1 'рад/с
с	299 792 458 м/с

Таблица 2. Геометрические параметры эллипсоидов

 

Система координат	Полуось а, м	Сжатие а
СК-42, СК-95	6 378 245	1/298,3
ПЗ-90		1/298,257 839 303
WGS-84		1/298,257 223 563
GRS-80		1/298,257222101

Поверхность и полюса Земли подвержены геодинамическим процессам: ось суточно-вращения движется в теле Земли и перемещается относительно небесных тел. Поэтому координатная ось Z, как определено рекомендациями Международной службы вращения Земли IERS(International Earth Rotation Service), направлена на точку Услов­но земного полюса (СТР - Сопvеntyопаl Теггеstrial Ро1е), соответствующему среднему люсу за 1900-1905 гг., исправленному на нутацию; ось X находится в плоскости ме­диана Гринвича, при этом оси X и У лежат в плоскости экватора и образуют правую стему координат. Начало координатной системы расположено в центре масс Земли. Составной частью координатных систем являются опорные геодезические сети (Geodetic Reference Frame). Они фиксируют положение координатной системы в теле Земли.

 

 

4. Уравнение поверхности эллипсоида.

 

В общем случае уравнение эллипсоида имеет вид

(4)

Полагая

можно записать

(5)

В сфероидической геодезии большое значение имеет так называемая приведенная широта. С ее помощью упрощаются теоретические выкладки.

Если в какой - либо точке эллипсоида А отложить отрезок длинной а от нее до оси вращения эллипсоида, то угол U (рис. 4) между этим отрезком и плоскостью экватора называется приведенной широтой. На рис. 4 АС = а.

 

 

На его основании можно записать

(6)

(7)

 

Подставляя (6) и (7) в (5) получим

(8)

 

Равенство (8) возможно лишь в том случае, если АВ = в. Это равенство имеет важное значение в дальнейших выводах.

С помощью приведенной широты геоцентрические координаты точки А можно записать так

 

(9)

 

5. Связь между приведенной широтой и геодезической широтой точки А.

 

 

Зададим бесконечно малое приращение дуги меридиана АА1, введя соответствующие приращения длины параллели dr и координаты z точки А dz. Угол в точке А, образуемый направлением касательной к эллипсоиду и параллелью, равен 90° - В. Очевидно, что

 

(10)

на основании (6), (7) найдем

 

(11)

 

 

(12)

Тогда, подставляя (11), (12)в (10) найдем

 

(13)

Выражение (13) является исходным для установления связи между геодезической широтой В и приведенной U.

В сфероидической геодезии часто применяются следующие два выражения

 

(14)

, (15)

 

которые называются соответственно первой и второй сфероидическими функциями. Очевидно, что всегда V > W. Причем, исходя из (14) и (15), можно получить, что

 

(16)

 

Применяя (16) к (13) можно установить, что

(17)

или

(18)

 

Следовательно

(19)

на основании (13) можно установить также, что

(20)

 

6. Дифференциалы дуг меридианов и параллелей.

 

При решении всех геодезических задач на сфероиде необходимо знать длины дуг меридианов и параллелей. Они в свою очередь вычисляются через дифференциалы. Для вывода дифференциала дуги используют известную в математике связь дифференциала и радиус - вектора и дуги ds/

(21)

Геометрически эта связь интерпретируется рис. 6.

 

Из рис. 6 следует,что если r устремлять к нулю, то его направление совпадает с направлением касательной в точке А, т.е., с вектором , а по абсолютной величине его значение будет равно дуге ds в той же точке.

На основе правил линейной алгебры запишем

(22)

где - единичные векторы.

В соответствии с (21) можно положить

(23)

 

на основе (9) можно записать

(24)

Исходя из (23) длину дуги ds можно вычислить так

(25)

Формулу (25) перепишем для вычисления дифференциалов дуг меридиана и параллели. Для меридиана положим L= const и соответственно dL=0. Тогда в соответствии с (24).

(26)

а для параллели, при U= const и dU=0

(27)

В дальнейшем дугу меридиана будем обозначать через Х, а длину параллели через Y. Выразим теперь соответствующие дифференциалы через геодезическую широту и долготу.

Используя соотношения (19) и (20) выражение (26) перепишем.

(28)

Поскольку, в соответствии с (16)

(29)

то

(30)

но поскольку

(31)

то

(32)

или

(33)

Для дифференциала дуги параллели на основе (27) с учетом (19) найдем

(34)

 

 

7. Главные радиусы кривизны на эллипсоиде.

Через нормаль к поверхности эллипсоида можно провести бесконечное число плоскостей. Следы сечения этих плоскостей с поверхностью эллипсоида образуют кривые различного радиуса кривизны. Однако среди них можно выбрать две кривые, соответственно, с максимальным и минимальным радиусами. Сечения вдоль таких кривых называют главными нормальными сечениями.

Первое из них находится в плоскости меридиана, второе - в плоскости главного вертикала. Плоскость первого вертикала образует с плоскостью параллели угол широты В, а единичный вектор направления дуги первого вертикала перпендикулярен такому же вектору меридиана в данной точке (рис.7).

Проще говоря первое главное нормальное сечение направлено вдоль меридиана на север, а второе - вдоль первого вертикала с востока на запад.

Найдем радиусы кривизны этих сечений. Обозначим через М - радиус кривизны меридиана, а N - радиус кривизны первого вертикала.

 

Очевидно, что

(35)

Тогда согласно (35) найдем

(36)

Из рис. 7 следует, что

(37)

или

(38)

Поскольку r является радиусом кривизны параллели, то

(39)

Тогда с учетом (39) на основе (38)

(40)

Для простоты вычислений (36) и (40) разлагают в ряд Тейлора и получают следующую запись

(41)

(42)

где

,

а остальные коэффициенты вычисляются по и в соответствии с разложением в ряд.

Средний радиус кривизны вычисляется по формуле

(43)

 

8. Длины дуг меридиана и параллели.

В соответствии с (33) и (34) длины дуг меридиана между широтами и , а также параллели между долготами и определяются следующим образом

(44)

(45)

Для вычисления интеграла (44) используют выражения (41) - (43). В результате для эллипсоида Красовского получают

(46)

Длина дуги параллели вычисляется по формуле

(47)

 

 

9. Площадь сфероидической трапеции.

Зная дифференциалы дуг меридиана и параллели легко можно вычислить дифференциал площади. Согласно (33) и (34) можно записать

(48)

Для полной трапеции, заключенной между широтами , а также долготами необходимо (48) проинтегрировать. Тогда

(49)

Поскольку подинтегральная функция не зависит от долготы, то (49) можно записать так

(50)

Для его интегрирования полагают

(51)

тогда

(52)

(53)

С учетом (52) и (53) выражение (51) можно записать так

(54)

Этот интеграл является табличным. После его интегрирования и возврата к исходной переменной в соответствии с (51) окончательно можно записать

(55)

Кроме этой формулы используют другую, получаемую в результате разложения выражения в ряд Тейлора. Почленным интегрированием здесь получают такую формулу

(56)

 

 

ГЛАВА 2. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ.

 

10.Кривизна кривой. Главная нормаль.

Рассмотрим произвольную кривую, (рис.8)

 

с радиусами кривизны в точках А и В соответственно r и r+ и единичными векторами касательных и в этих точках. Отношение

при стремящемся к нулю равно кривизне кривой в точке А и записывается так:

(57)

Из равнобедренного треугольника BRL можно найти модуль вектора , т.е.

Поскольку , а угол мал, то

(58)

Тогда на основании (58) и (57) можно записать

(59)

Следовательно по модулю также является кривизной кривой, а его направление перпендикулярно вектору касательной.

В математике принято считать, что прямая, имеющая направление вектора и проходящая через соответствующую точку кривой называется главной нормалью кривой в данной точке.

 

 

11.Определение геодезической линии.

Геодезическая линия - это кривая, главная нормаль которой в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности. Она является кратчайшей линией между двумя точками поверхности.

Существует и другое определение геодезической линии. Суть его в следующем.

Если на поверхности (рис.9)

 

рассмотреть некоторую кривую АВ. то ее можно спроектировать как на касательную плоскость, так и на плоскость нормального сечения. Кривизну проекции кривой на касательной плоскости называют геодезической кривизной. Для геодезической линии она всегда равна нулю, то есть геодезическая линия изображается прямой линией. Поэтому можно определить, что геодезическая линия это есть дуга, геодезическая кривизна которой равна нулю.

Геодезическая линия - это пространственная кривая, обладающая как кривизной, так и

Без вывода приведем формулу кривизны геодезической линии в точке Q (рис.10), имеющей азимут А.

(60)

или

(61)

Радиус кривизны будет

(62)

где

Такой же кривизной обладает и нормальное сечение в точке Q.

 

 

12.Связь геодезической линии с нормальным сечением.

В решении геодезических задач на эллипсоиде длина геодезической линии не используется, так как измерения в геодезии выполняют по нормальным сечениям. Ее заменяют длиной нормального сечения. Установлено. Что разность длин нормального сечения и геодезической линии не превосходит 0.1 мм для расстояний порядка 1000 км.

Однако направления геодезической линии и нормального сечения не совпадают. На рис.11 через нормаль к поверхности эллипсоида в

точке в направлении на точку проведена плоскость. В результате получена дуга прямого нормального сечения . Дуга на рис.11 не видна, так как она находится в плоскости нормального сечения,

 

 

Нормальной проекцией точки является точка . Геодезическая линия на эллипсоиде по определению, будет проходить от точки до точки .Тогда направление нормального сечения и геодезической линии образуют угол dA. Этот угол является поправкой в измеренное направление для перехода к направлению соответствующей геодезической линии на эллипсоиде. Эта поправка вычисляется по формуле

(63)

- отрезок , являющийся геодезической высотой точки .

- геодезическая широта точки .

На практике кроме этого измеряются не дуги нормальных сечений, а прямые отрезки. По ним необходимо вычислить соответствующие дуги.

В общем случае вычисление дуги нормального сечения является сложной задачей. Ведь только для нормального сечения здесь нужно было бы вычислить следующий интеграл

(64)

Но здесь должны быть известны с высокой точностью геодезические координаты начальной и конечной точек линии. Но они как правило неизвестны.

В таком случае вместо дуги нормального сечения на эллипсоиде принимается дуга большого круга шара. Радиус шара принимается равным его величине на эллипсоиде в точке , вычисляемой по формуле (62). Такая замена возможна при расстоянии между точками и (рис. 12) не более 200 км. При этом расхождение между длиной дуги эллипсоида и шара составляет всего лишь 3 мм.

 

Для вычисления дуги S поступают следующим образом

Поскольку (рис. 12)

, (65)

то можно записать теорему косинусов

(66)

исходя из нее находят

(67)

Для вычисления хорды d можем записать, что

(68)

Очевидно, что

(69)

или

 

 

Глава 3. Решение сферических треугольников.

 

13. Сферический избыток.

Из сферической тригонометрии известно, что сумма углов сферического треугольника больше на величину , которую называют сферическим избытком.

(70)

 

В сферическом треугольнике дуги являются дугами больших кругов и измеряются в градусной мере. Углы А, В, С являются углами между касательными к дугам в соответствующих вершинах треугольника.

Из сферической тригонометрии известно, что

(71)

(72)

(73)

где , , (74)

 

- длины сторон треугольника в линейной мере, R - радиус сферы.

В малых сферических треугольниках при км формулы (71) - (74) упрощают. Для этого используют разложение в ряд Тейлора.

(75)

Аналогичное разложение можно записать и для других сторон. Поскольку величины в третьей степени являются пренебрежительно малыми, то (71) - (74) можно переписать так

(76)

где

(77)

 

14. Формулы решения сферических треугольников.

 

Для вычисления длин сторон треугольника используется теорема синусов сферического треугольника

(78)

Если, например, сторона а задана, то другие можно вычислить так

(79)

(80)

Это проще формулы вычисления сторон, но поскольку в геодезических сетях стороны небольшие ( км.), то длины сторон можно вычислить по правилам решения плоского треугольника.

Существуют два способа такого решения:

а) введения поправок в сферические углы с сохранением длин сторон (способ Лежандра)

б) введением поправок в вычисляемые стороны с сохранением величины углов (способ аддитаментов)

 

Способ Лежандра.

В соответствии с этим способом следуя уравнениям (79), (80) стороны треугольника вычисляются по формуле

(81)

(82)

 

Способ аддитаментов.

В этом способе исходя из (79), (80) синусы сторон а,b,с разлагаются в ряд Тейлора. Тогда

(83)

(84)

Очевидно, что можно записать

(85)

(86)

Или на примере лишь стороны b

(87)

Тогда

(88)

Для длин сторон найдем

(89)

(90)

Формулы (89), (90) дают те же результаты, что и формулы (81), (82) Это можно доказать следующим образом. Учитывая, что

(91)

и выражая отсюда после его подстановки в первое уравнение (76) получим

(92)

По аналогии с (92) можно записать

(93)

Поскольку

(94)

то после подстановки (94) в (92) можно записать

(95)

Аналогично

(96)

Если (81), (82) разложить в ряд Тейлора и ограничиться первыми степенями , а (95), (96) подставить в (89), (90), то получится один и тот же результат.

Например, для стороны будет

(97)

 

 

Глава 4. Решение главных геодезических задач

на поверхности земного эллипсоида.

 

15. Виды геодезических задач.

В сфероидической геодезии, также как и на плоскости к главным геодезическим задачам относятся: прямая и обратная геодезическая задача.

 

Суть прямой геодезической задачи заключается в следующем. На поверхности эллипсоида задается точка , (рис. 14) с исходными координатами: геодезическими широтой , и долготой . Задана длина геодезической линии S с точки к точке и начальный азимут

геодезической линии.

 

Необходимо определить координаты точки и конечный азимут геодезической линии.

 

Суть обратной геодезической задачи заключается в следующем. Заданы геодезические координаты точек . Необходимо определить длину геодезической линии S между этими точками, ее прямой и обратный азимуты.

Точность вычисления всех угловых величин: широт, долгот и азимутов должны составлять .

 

16. Решение главных геодезических задач на шаре.

Составной частью решения главных геодезических задач на эллипсоиде является их решение на шаре.

Рассмотрим вначале решение на шаре прямой геодезической задачи.

 

Здесь даны: . Необходимо найти . Для вычисления широты точки запишем формулу косинуса стороны сферического треугольника для стороны .

(98)

В правой части этой формулы находятся заданные величины. В левой - искомая широта .

Для вычисления долготы необходимо записать две теоремы с участием разности долгот .

Теорему синусов

(99)

Тогда

(100)

И теорему пяти элементов с участием .

(101)

Если (100) разделить на (101), то получится искомый результат.

(102)

Для вычисления азимута по аналогии с определением разности долгот необходимо составить два уравнения: синусов и пяти элементов с участием , и заданных величин:

(103)

(104)

Если (103) переписать в виде

И разделить на (104), то получится окончательный результат

(105)

Таким образом по формулам (98),(102),(105) решается прямая геодезическая задача на шаре.

 

17. Решение прямой геодезической задачи на эллипсоиде.

Наиболее общим решением как прямой, так и обратной геодезической задачи на эллипсоиде является решение Бесселя.

Для своего решения Бессель ввел следующие предположения:

1). Геодезическая линия на эллипсоиде S изображается на шаре дугой большого круга (рис. 16).

 

2). Широты точек на шаре равны приведенным широтам U на эллипсоиде.

3). Азимуты линий на шаре и эллипсоиде А равны между собой.

Следуя второму предположению на основе (98) найдем приведенную широту точки .

(107)

Исходя из (102) найдем тангенс азимута (106) линии в точке .

(108)

Переход от геодезических широт к приведенным и обратно как в (106) так и в (107) осуществляется по формуле (19). То есть по формуле

или

находится приведенная широта первой точки. Она подставляется в (107) и (108). По этим формулам вычисляется приведенная широта второй точки и азимут линии в точке . По (19) находится геодезическая широта.

При работе с формулами (107),(108) необходимо знать большого круга . При этом ее длина должна быть такой, чтобы удовлетворять второе и третье условие Бесселя.

 

 

18. Дифференциальные уравнения в способе Бесселя.

Для того, чтобы найти длину дуги необходимо вывести дифференциальные уравнения для длин дуг, широт, долгот и азимутов на шаре и на эллипсоиде.

Следуя рис. 17 и рис.10

 

можно записать, что

Но поскольку

Тогда

(109)

(110)

Известно, что

(111)

Тогда

(112)

Аналогичные соотношения можно записать для шара.

(113)

(114)

(115)

Тогда дифференциальные уравнения примут вид

(116)

(117)

(118)

Поскольку в соответствии с третьим предположением Бесселя , то исходя из (118) будет

(119)

Таким образом значение на основе (119) можно найти из интеграла.

(120)

но для простоты решения Бесселем осуществляется следующее интегрирование

(121)

Поскольку то

(122)

Но поскольку по (40) , а по (29) , то

(123)

Аналогично выводится дифференциальное уравнение и для разности долгот.

Так в соответствии с (117) при втором, и третьем условии Бесселя.

(124)

Но поскольку в соответствии с (40) а в соответствии с (19) то учитывая (124)

(125)

и тогда

(126)

Формулы (123) и (126) являются исходными для вычисления длин дуг и разности геодезических долгот.

 

19. Рабочие формулы для решения прямой

геодезической задачи по способу Бесселя.

Исходные величины: в начальной точке геодезической линии длинной S. Необходимо найти в конечной точке геодезической линии.

1. Вычисляются функции приведенной широты начальной точки

2. Вычисляется длина дуги большого круга по формуле

(127)

найденный из (123).

В (127)

(128)

(129)

(130)

(131)

(132)

 

3. Вычисляется поправка в разность долгот исходя из (126).

(133)

4. По формуле (104) вычисляется приведенная широта второй точки, а по ней

(134)

в соответствии с формулой (13).

 

5. По формуле (103) находится .

И (135)

6. По (105) находится азимут .

 

При вычислении и необходимо учитывать знаки по правилам, приведенным ниже.

 

Знак	+	+	-	-
Знак	+	-	-	+

 

знак	-	-	+	+
знак	+	-	+	-

 

20. Решение обратной геодезической задачи по способу Бесселя.

 

В данном случае исходными являются .Определяемыми - величины

Для решения на сфере напишем две формулы пяти элементов

(136)

и

(137)

Разделив (100) на (136) получим

(138)

Записав теорему синусов

(139)

и

(140)

после деления (140) на (137) получим

(141)

Без вывода приводим следующее выражение

(142)

Порядок решения обратной геодезической задачи исходя из (138), (141), (142) будет следующим.

Исходные величины: координаты - конечной и начальной точек линии.

Требуется найти: длину геодезической линии S между конечными точками, а также азимуты: в начальной точке и в конечной .

1. Подготовительные выполнения. Находим функции приведенной широты начальной и конечной точек

2. Последовательные приближения для вычисления начального азимута, сферического расстояния и разности долгот

В первом приближении

знак р	+	+	-	-
знак q	+	-	-	+

 

знак	+	-

 

3. Вычисления

4. Вычисление обратного азимута

 

 

Глава 5. Решение геодезических задач в пространстве.

Связь геодезических и декартовых геоцентрических координат.

В формуле (9) выражаем приведенную широту через геодезическую на основе формул (19). Тогда будем иметь

(143)

Поскольку

(144)

 

то

(145)

Если кроме этого известна еще и геодезическая высот