фигуры Земли
Согласно теории Стокса все измерения над уровенной поверхности геоида. Для определения высот геоида над эллипсоидом необходимо измеренное ускорение силы тяжести (силу тяжести) редуцировать на поверхность геоида. С теоритической точки зрения такое редуцирование возможно, но практически не осуществимо. Это вызвано тем, что для вычисления редукции за влияние масс Земли, возвышающихся над геоидом, необходимо знать их плотность, в каждой точке. К настоящему времени таких знаний даже в регулярной сети точек не накоплено. И плотность масс известно лишь приблизительно. Ясно, что для строгого определения высоты геоида над эллипсоидом такие приблизительные значения не подходят. В связи с этим советский ученый Молоденский предложил определять их – высоту геоида над эллипсоидом. В этом случае в точке M земной поверхности измеряется сила тяжести g. Потенциал реальной силы тяжести в этой точке обозначается через W(B,L.H), где B,L.H геодезические широта, долгота и высота точки. Потенциал нормальной силы тяжести, создаваемой эллипсоидом в этой точке будет равен U(B,H). В нем отсутствует долгота, так как по формуле Сомильяни сила тяжести от долготы не зависит. Запишем теперь формулу возмущенного потенциала: (122) Дифференцирование (122) по нормали к эллипсоиду приводит к выражению (123)
M' x
M0
РИС.11 В формуле (123) является производной W по нормали к эллипсоиду. Поскольку измеряется производная по нормали к геоиду g, то зная уклонение отвесной линии U в точке H можно найти, что (124) Значение в (123) найдем по формуле: (125) где производная силы тяжести по нормали в точке M0. С учетом (125) формулу (123), пологая, DH=H, можно переписать так: (126) В действительности H неизвестно. Вместо него по результатам нивелирования известна некоторая приближенная величина h.Так что можно записать: (127) При этом не играет роль высота геоида над эллипсоидом. Это поправка L приближенной высоте h. Для ее определения найдем сначала нормальный потенциал в точке M¢ (128) где берется в начальной точке M0. Тогда значение Uм запишем так: (129) где берется в точке М¢. Подставляя (129) в (122) запишем: (130) И (131) где - значение нормальной силы тяжести в точке М¢. С учетом (128) выражение (131) можно записать еще и так: (132) В (132) реальный потенциал запишем так (133) В соответствии с теорией нормальных высот: (134) где -значение нормальной силы тяжести на глубине от точки М. Учитывая (134) и (133) выражение (132) перепишем в виде: (135) или (136) В частном случае можно принять, что (137) и тогда (138) Выражение (126) с учетом (130) примет вид: (139) Значение (140) является ускорением силы тяжести в точке М¢. С его учетом (139) перепишется так: (141) Это дифференцированное уравнение является краевым условием Молоденского для определения возмущающего потенциала Т в точках земной поверхности. Принято считать его обобщением краевого условия Стокса.
|