фигуры Земли

 

Согласно теории Стокса все измерения над уровенной поверхности геоида. Для определения высот геоида над эллипсоидом необходимо измеренное ускорение силы тяжести (силу тяжести) редуцировать на поверхность геоида. С теоритической точки зрения такое редуцирование возможно, но практически не осуществимо. Это вызвано тем, что для вычисления редукции за влияние масс Земли, возвышающихся над геоидом, необходимо знать их плотность, в каждой точке. К настоящему времени таких знаний даже в регулярной сети точек не накоплено. И плотность масс известно лишь приблизительно. Ясно, что для строгого определения высоты геоида над эллипсоидом такие приблизительные значения не подходят.

В связи с этим советский ученый Молоденский предложил определять их – высоту геоида над эллипсоидом. В этом случае в точке M земной поверхности измеряется сила тяжести g. Потенциал реальной силы тяжести в этой точке обозначается через W(B,L.H), где B,L.H геодезические широта, долгота и высота точки. Потенциал нормальной силы тяжести, создаваемой эллипсоидом в этой точке будет равен U(B,H). В нем отсутствует долгота, так как по формуле Сомильяни сила тяжести от долготы не зависит.

Запишем теперь формулу возмущенного потенциала:

(122)

Дифференцирование (122) по нормали к эллипсоиду приводит к выражению

(123)

 

M' x

 

h

H

M

 

 

M₀

 

РИС.11

В формуле (123) является производной W по нормали к эллипсоиду. Поскольку измеряется производная по нормали к геоиду g, то зная уклонение отвесной линии U в точке H можно найти, что

(124)

Значение в (123) найдем по формуле:

(125)

где производная силы тяжести по нормали в точке M₀.

С учетом (125) формулу (123), пологая, DH=H, можно переписать так:

(126)

В действительности H неизвестно. Вместо него по результатам нивелирования известна некоторая приближенная величина h.Так что можно записать:

(127)

При этом не играет роль высота геоида над эллипсоидом. Это поправка L приближенной высоте h.

Для ее определения найдем сначала нормальный потенциал в точке M¢

(128)

где берется в начальной точке M₀. Тогда значение U_м запишем так:

(129)

где берется в точке М¢.

Подставляя (129) в (122) запишем:

(130)

И

(131)

где - значение нормальной силы тяжести в точке М¢.

С учетом (128) выражение (131) можно записать еще и так:

(132)

В (132) реальный потенциал запишем так

(133)

В соответствии с теорией нормальных высот:

(134)

где -значение нормальной силы тяжести на глубине от точки М.

Учитывая (134) и (133) выражение (132) перепишем в виде:

(135)

или

(136)

В частном случае можно принять, что

(137)

и тогда

(138)

Выражение (126) с учетом (130) примет вид:

(139)

Значение

(140)

является ускорением силы тяжести в точке М¢. С его учетом (139) перепишется так:

(141)

Это дифференцированное уравнение является краевым условием Молоденского для определения возмущающего потенциала Т в точках земной поверхности. Принято считать его обобщением краевого условия Стокса.