Аналитические методы исследований

Исследуя физические модели, описывающие функциональные связи, используют аналитические методы, с помощью которых устанавливают математическую зависимость между параметрами модели.

Эти методы позволяют глубоко и всесторонне изучить исследуемые процессы, устанавливают точные количественные связи между аргументами и функциями, глубоко проанализировать исследуемые явления.

В научных исследованиях применяют элементарные функции и уравнения, особенно когда стремятся упростить исследуемую модель и получить приближенные решения поставленной задачи.

Достаточно часто используют линейные функции и уравнения, например, при исследовании слоистых строительных материалов. Полагая, что напряжения в слоистом материале распределяются прямопропорционально модулям упругости его компонентов, с помощью элементарных линейных уравнений можно получить ряд полезных сведений.

В практике часто встречаются процессы, протекающие по принципу цепного механизма (растворение, охлаждение, перемешивание и др.). Для их исследования используют экспоненциальные, параболические, показательные функции. Чтобы изучить колебательные процессы, применяют тригонометрические функции.

В большинстве случаев элементарные функции непрерывны, что позволяет их дифференцировать и интегрировать. Это дает возможность определить наилучшие или наихудшие условия протекания исследуемого процесса путем нахождения экстремумов.

Например, производительность труда П строительной организации зависит от годового объема работы организации V:

…, (11)

где – постоянные.

Анализ этой зависимости показывает, что по мере увеличения объема работ организации V производительность вначале возрастает, потом убывает. Увеличение производительности объясняется тем, что более крупная организация имеет больше резервов. В таких организациях лучше организован труд.

Однако, в очень больших организациях с большим объемом работ, сложно организовать производство. Этим объясняется трудность управления большими организациями. Оптимальный объем работ для организации V _ОП можно найти, определив экстремум функции (11), который обеспечивает максимальную производительность:

(12)

При анализе форм и размеров инженерных конструкций, пользуются методами элементарной, начертательной и аналитической геометрии.

Обыкновенные дифференциальные уравнения используют для теоретического анализа только одной переменной.

Уравнения первого порядка имеют вид

(13)

Применяют также уравнения высших порядков

 

(14)

Общее решение таких уравнений представляет семейство кривых на плоскости. Кривая будет решением (13), если она в каждой своей точке касается вектора поля направления. Поэтому каждое уравнение имеет множество решений (кривых)

(15)

где – постоянные интегрирования.

Для нахождения частного решения указывают начальные условия – т.е. задают значения F в некоторых известных точках х и у. Это позволяет определить постоянные а затем и частные решения.

Отыскать значения обыкновенных дифференциальных уравнений трудно. В большинстве случаев затруднительно также получить аналитические выражения в виде элементарных функций и в конечном виде. Поэтому для их решения широко применяют различные приближенные методы – конечных разностей, разложение в ряды, вариационные методы и др.

Обыкновенные дифференциальные уравнения применяют при теоретическом анализе различных моделей простых и средних по сложности процессов: миграции влаги в грунтах как капиллярных средах, движения жидкости в трубах, линейного распределения тепла в стержнях, осаждения грунта в пульте при гидронамывах насыпей, напряженного состояния в полотне и т. д.

Например, в технологии вяжущих исследуют их растворение, полагая, что скорость растворения пропорциональна их количеству

(16)

Здесь т – количество вяжущего;

t – время;

k – коэффициент пропорциональности.

После интегрирования этого уравнения получим

Постоянную интегрирования С находят из условия, что при t = 0, С = m ₀ (начальное количество). Следовательно,

Последнее выражение содержит конкретную информацию о процессе растворения, которое со временем затухает. Скорость затухания этого процесса зависит от величины коэффициента k, которая в свою очередь, обуславливается природой вещества и температурой раствора.

Ряд прикладных задач решают с помощью функций Бесселя. Дифференциальные уравнения

(17)

называют уравнением Бесселя. В нем величина п постоянна, ее называют порядком функции Бесселя. Решением уравнения Бесселя первого порядка является знакопеременный убывающий ряд

где Г (п + 1) – гамма функции.

График функции Бесселя представляет собой затухающую волну.

Эти функции широко применяются при расчете дорожных покрытий.

Большое распространение при решении прикладных задач получили дифференциальные уравнения в частных производных, например

и т.д. (18)

Общее решение этих уравнений зависит не от произвольных постоянных, а от произвольных функций. В них искомые переменные представляют собой функции нескольких независимых переменных.

Обычно суть задачи сводится к тому, чтобы найти соотношение между переменными установить функциональную зависимость , удовлетворяющую дифференциальному уравнению с частными производными и частным условием задачи. Эти дополнительные условия определяются физическим смыслом.

Например, из анализа теплового баланса тела следует, что температура t в любой точке тела при его остывании или нагревании является функцией времени Т и координат x, y, z, и должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных

, (19)

где а – коэффициент температуропроводности.

Дифференциальные уравнения в частных производных находят широкое применение в научном анализе, т.к. они описывают процессы течения жидкостей, колебательные процессы, диффузию газов, тепловые и другие процессы.

При исследовании многообразных тепловых процессов в строительстве (водно-тепловой режим дорог, расчеты по охлаждению ограждающих конструкций зданий, пропаривание железобетонных изделий, приготовление асфальтированных смесей, теплотехнические расчеты при зимней технологии строительства и др.) обычно применяют систему связанных дифференциальных уравнений и частных производных второго порядка гиперболического вида

; , (20)

где а, а ₁ – коэффициенты температуро- и влагопроводности;

– критерий теплообмена вследствие фазовых превращений (испарение, оттаивание, промерзание и др.) мигрирующего вещества;

– коэффициент термоградиентный влагопроводности.

В уравнении (20) коэффициенты а, b, а ₁, b ₁ – постоянны. Если они переменные, то система принимает более сложный вид.

Любые дифференциальные уравнения являются моделью целого класса явлений, т.е. совокупностью явлений, характеризуемых одинаковыми процессами. При интегрировании уравнений получают большое количество решений,

удовлетворяющих исходному дифференциальному уравнению.

Чтобы получить из множества возможных решений одно, удовлетворяющее только рассматриваемому процессу, необходимо задать дополнительные условия к дифференциальному уравнению. Они должны четко выделить изучаемое явление из всего класса явлений. Условия, которые характеризуют все особенности данного уравнения, называются условиями однозначности и характеризуются следующими признаками: геометрией системы (форма и размеры тела); физическими свойствами тела (теплопроводность, влагопроводность, упругость, вязкость и т.д.); временными условиями, т.е. состоянием системы в начальный момент или распределением переменных величин по всему объему системы; граничными условиями, т.е. взаимодействия системы на границах с окружающей средой.

При решении задач типа (11) – (17) необходимо знать условия однозначности.

Начальные и граничные условия называют краевыми.

Задачи тепломассообмена и им подобные, относимые к задачам математической физики, эффективно решать операционными методами или методами интегрального преобразования Лапласа, Фурье, Бесселя и др.

Суть операционного преобразования заключается в переводе функции f (t) переменного t, называемой начальной или оригиналом, в функцию f* (p) другого переменного р, называемую изображением. Это преобразование позволяет операции дифференцирования и интегрирования с оригиналом заменить простыми алгебраическими операциями с изображением. Изучают не саму функцию (оригинал), а ее измененное значение (изображение).

Преобразование осуществляется путем умножения начальной функции на другую и интегрирования ее. Так, преобразование Лапласа от функции f (t) имеет вид

, (21)

где р – комплексное число.

Функция f *(p) называется изображением функции f (t) или изображением Лапласа. Использование f* (p) позволяет сложные операции дифференцирования и интегрирования f (t) заменить простыми алгебраическими операциями с f *(p).

Выполнив простые операции с f *(p), производят обратный переход к f (t).

Применение интегральных преобразований Лапласа имеет ряд преимуществ – простота, возможность решения задач с различными краевыми условиями и др.

Однако с помощью этого метода можно решать линейные задачи со сравнительно простыми краевыми условиями. При решении нелинейных задач со сложными краевыми условиями, точные аналитические методы встречают значительные трудности. В таких случаях для анализа моделей применяют численные методы. Например, в настоящее время широко используют метод конечных разностей (метод сеток). Суть его заключается в том, что производную заменяют приближенным выражением в виде разности значения функции в отдельных точках сетки. В результате этого, дифференциальное уравнение заменяют эквивалентным соотношением конечных разностей, которое решают с помощью простейших алгебраических выражений. Этот метод основан на замене непрерывного процесса изменения функции скачкообразным во времени и пространстве.

С помощью метода конечных разностей можно решать сложные задачи с постоянными и переменными коэффициентами. Особенно эффективен этот метод при использовании ЭВМ, существенно облегчающих вычислительные операции.

В строительстве и в геомеханике ряд задач исследуется с помощью интегральных уравнений, содержащих искомую функцию под знаком интеграла:

, (22)

где – известные функции х;

– постоянный параметр, который называют собственным числом;

k (x, S) – заданная функция, которую называют ядром интегрального уравнения.

Если h (x) = 0 или h (x) = 1 то уравнение (22) преобразуется соответственно в уравнения Фредгольма первого или второго рода. Если при > х = 0, ядро то верхний предел интегрирования равен х. Такие интегральные уравнения называют уравнениями Вольтера. В современной теории ползучести материалов широко используют интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма.

Общего метода решения интегральных уравнений даже линейного типа не существует. Интегральное уравнение является решением дифференциального, например, решением дифференциального уравнения (3)

является интегральное уравнение

(23)

Если , имеем

.

Это позволяет сводить решение дифференциальных уравнений к решению интегральных и наоборот.

Одним из методов решения интегральных уравнений является метод последовательных приближений, который может быть иллюстрирован примером.

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальными условиями при Его можно представить в виде интегрального уравнения:

. (24)

Подставляя под знак интеграла вместо у его начальное значение ,
получаем

.

Таким же образом можно получить вторые и более высокие приближения, соответствующие и т.д.

Для решения интегральных уравнений применяется метод полуобращения, суть которого заключается в том, что ядро разбивается на две функции. Первая функция позволяет представить интегральное уравнение в виде схемы алгебраических уравнений, что упрощает ее решение. Вторая позволяет получить решение интегрального уравнения методом последовательных приближений. Многие задачи исследуются с помощью вариационного исчисления. Чтобы сформулировать задачу вариационного исчисления, вводят понятие функционала. Пусть имеем плоскую кривую с областью определения (рис. 6). Нетрудно видеть, что длина кривой S ₁, площадь Р криволинейной трапеции, объем тела вращения V зависят от вида заданной кривой

; ; . (25)

Таким образом, функция однозначно определяет величину , т.е. она играет роль своеобразного «аргумента».

В этом случае величины называют функционалом относительно функции .

Суть задачи вариационного исчисления состоит в том, что если задан

функционал в области , то требуется найти такую функцию в заданной области определения функционала , при которой этот функционал принимает минимальное или максимальное значение.

При исследовании процессов методами вариационного исчисления находят такие закономерности, при которых их развитие энергетически наиболее экономно. Очень часто они описываются экспоненциальными функциями или рядов со степенными, тригонометрическими и другими функциями, удовлетворяющими принципам вариационного исчисления.

В научных исследованиях широко используется теория функций комплексной переменной. В основе этой теории лежит положение о комфортном преобразовании, согласно которому две пересекающиеся кривые и из области Z всегда можно перенести в область W соответственно кривым и , сохраняя равенство углов между кривыми в каждой паре. Это позволяет изменить координаты таким образом, чтобы упростить громоздкие математические преобразования.

Теория функций комплексной переменной используется, например, в теории упругости для определения концентраций напряжений в плоскости или пространстве, содержащем различные включения.

Выше были названы лишь основные методы аналитических исследований, применяющихся в науке.