ИССЛЕДОВАНИЙ

В научных исследованиях рассматриваются не только детерминированные, но и случайные вероятностные (стохастические) процессы.

В горном деле (производстве) процессы выполняются в условиях непрерывно меняющейся обстановки (переброска бригад на объекты, вынужденные простои машин, перебои с поставками материалов, неравномерная работа транспорта, непрерывное изменение микроклиматических факторов и т.д.). Те или иные события могут произойти или не произойти. В связи с этим приходится анализировать случайные, вероятностные или стохастические связи, в которых каждому аргументу соответствует множество значений функции. Наблюдения показали, что несмотря на случайный характер связи, рассеивание имеет вполне определенные закономерности. Для таких статистических законов теория вероятностей позволяет предсказать исход не одного какого-либо события, а средний результат случайных событий и тем точнее, чем больше число анализируемых явлений. Несмотря на случайный характер событий, они подчиняются определенным закономерностям, рассматриваемым в теории вероятностей.

Теория вероятностей является математическим отражением законов, изучает случайные события и базируется на следующих основных показателях.

Под совокупностью понимаютмножество однородных событий. Совокупность случайной величины Х составляет первичный статистический материал. Совокупность, содержащая самые различные варианты массового явления, называют генеральной совокупностью или большой выборкой N. Обычно изучают лишь часть генеральной совокупности, называемой выборочной совокупностью или малой выборкой N ₁.

Вероятностью Р (х) события Х называют отношение числа случаев N (x), которые приводят к наступлению события Х к общему числу возможных случаев N:

. (41)

Теория вероятностей рассматривает теоретические распределения случайных величин и их характеристики. Математическая статистика занимается способами обработки и анализа эмпирических событий. Эти две родственные науки составляют единую математическую теорию массовых случайных процессов, широко применяемую для анализа научных исследований.

В математической статистике важное значение имеет понятие о частоте события , представляющего собой отношение числа случаев , при которых имело место событие, к общему числу событий п:

. (42)

При неограниченном возрастании числа событий, частота стремится к вероятности .

Допустим, имеются статистические наблюдения за количеством автомобилей , прибывающих ежечасно на склад:

Количество автомоби-лей х 1
Частота абсолютная у 1
Частота относительная	0,04	0,08	0,20	0,28	0,14	0,10	0,08	0,06	0,02

Абсолютная частота у_i или относительная характеризует вероятность появлений случайной величины. Относительные частоты представляют собой ряд распределения (рис. 8), а плавная кривая – закон (функцию) распределения .

Вероятность случайной величины (события) – это количественная оценка возможности ее появления. Достоверное событие имеет вероятность , невозможное событие – .

Следовательно, для случайного события , а сумма вероятностей всех возможных значений

. (43)

В исследованиях иногда недостаточно знать одну функцию распределения. Необходимо еще иметь ее характеристики: среднеарифметическое, математическое ожидание, дисперсию, размах ряда распределения.

Пусть среди п событий случайная величина х ₁ повторяется п ₁ раз, величина х ₂ – п ₂ раза и т.д. Тогда среднеарифметическое значение имеет вид:

. (44)

Размах можно использовать для ориентировочной оценки вариации ряда событий

, (45)

где – максимальное и минимальное значение измеренной величины или погрешности.

Если вместо эмпирических частот принять их вероятности , то получим важную характеристику функции распределения – математическое ожидание:

(46)

Пример: Имеется 5 измерений одной выборки:

Среднее значение .

 

По формуле (46) математическое ожидание равно

.

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание равно

, (47)

т.е. оно равно действительному значению х _Д наблюдаемых событий.

Таким образом, если систематические погрешности измерений полностью исключены, то истинное значение измеряемой величины равно математическому ожиданию, а соответствующая ему абсцисса называется центром распределения.

Дисперсия характеризует рассеивание случайной величины по отношению к математическому ожиданию и вычисляется с помощью формулы

. (48)

Для рассмотренного выше примера

Важной характеристикой теоретической кривой распределения является среднеквадратичное отклонение или стандарт:

(49)

В данном случае 0,911.

Площадь, расположенная под кривой распределения, соответствует единице вследствие того, что кривая охватывает все значения случайных величин, т.е. все результаты измерений. Для одной и той же площади можно построить большое количество кривых распределения, т.е. они могут иметь различное рассеяние. Мерой рассеяния (точности измерений) является дисперсия или среднеквадратичное отклонение.