Размещения, перестановки, сочетания

Гражданско-правовая ответственность в сфере взаимодействия общества и природы заключается главным образом в возложении на правонарушителя обязанности возместить потерпевшей стороне имущественный или моральный вред, причиненный в результате нарушения правовых экологических требований.

Особенностью гражданско-правовой ответственности является то, что она может возлагаться на правонарушителя наряду с применением мер дисциплинарного, административного и уголовного воздействия, то есть совокупно. Специфической целью данного вида ответственности является компенсация причиненного экологическим правонарушением вреда.

Возмещение экологического вреда регулируется в основном ГК РФ, ГПК РФ, АПК РФ. Ряд важных касающихся этого положений содержится также в экологическом законодательстве, хотя и в нем дается отсылка к гражданскому законодательству.

 

 

* Селитебная часть города – часть города (в данном контексте), застроенная жилыми и общественными зданиями.

2, 11

Виды выборок различаются в зависимости от вида метода и способа отбора, а также степени охвата единиц совокупности (рис. 10.2).

При повторном отборе общая численность единиц генеральной совокупности остается неизменной. Та или иная единица, попавшая в выборку, после регистрации возвращается в генеральную совокупность и сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами при повторном отборе вновь попасть в выборку.

При бесповторном отборе единица совокупности, попавшая в выборку, в генеральную совокупность не возвращается и в дальнейшем в выборке не участвует. Таким образом, численность единиц генеральной совокупности сокращается в процессе отбора.

К собственно-случайной выборке относится отбор единиц из всей генеральной совокупности (без предварительного расчленения ее на группы) посредством жеребьевки (преимущественно) или иного подобного способа, например с помощью таблицы случайных чисел.

Размещения, перестановки, сочетания

Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .

Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .

Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно

Доказательство. Пусть у нас есть элементы . Пусть — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим — первый элемент размещения. Из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:

Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?

Решение. Искомое число трехполосных флагов:

Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Так, все различные перестановки множества из трех элементов — это

Очевидно, перестановки можно считать частным случаем размещений при .

Число всех перестановок из элементов обозначается (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

Пример. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение. Искомое число расстановки 8 ладей

по определению!

Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, -элементные подмножества данного множества из элементов).

Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из элементов по элементов в каждом обозначается (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”).

Числа

Все сочетания из множества по два — .

.

Свойства чисел

1. .

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.

2. .

Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .

Общим термином «соединения» мы будем называть три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству (например, буквы алфавита, книги в библиотеке, машины на стоянке и т.д.).

Перестановки. Возьмём n различных элементов: a ₁, a ₂, a ₃, …, a_n. Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается P_n. Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n:

 

Символ n! (называется факториал) - сокращённая запись произведения: 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n.

 

П р и м е р. Найти число перестановок из трёх элементов: a, b, c.

Р е ш е н и е. В соответствии с приведенной формулой: P ₃ = 1 · 2 · 3 = 6.
Действительно, мы имеем 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Размещения. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, располагая эти m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются размещениями из n элементов по m.

Их общее количество обозначается: и равно произведению:

П р и м е р. Найти число размещений из четырёх элементов a, b, c, d по два.

Р е ш е н и е. В соответствии с формулой получим:

Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

Сочетания. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих m элементов. Тогда мы получим сочетания из n элементов по m.

Их общее количество обозначается и может быть вычислено по формуле:

Из этой формулы ясно, что

 

Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n, которое содержит все n элементов. Формула числа сочетаний даёт это значение, если только принять, что 0! = 1,что является определением 0!.

В соответствии с этим определением получим:

Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:

П р и м е р. Найти число сочетаний из пяти элементов: a, b, c, d, e по три.

Р е ш е н и е:

Эти сочетания: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение (a + b) ⁿ при положительном целом n в виде многочлена:

Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.

П р и м е р 1.

(См. формулу куба суммы двух чисел).

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая - для n = 2; третья - для n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:

(a + b)⁷,

мы можем получить результат моментально, используя таблицу:

Свойства биномиальных коэффициентов.

1. Сумма коэффициентов разложения (a + b) ⁿ равна 2 ⁿ.

Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения:

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна

Для доказательства воспользуемся биномом: Здесь чётные члены имеют знак «+», а нечётные - «-». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов равны между собой, поэтому каждая из них равна: что и требовалось доказать.

 

3-4