Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков

Нормальное распределение,^[1][2] также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

где параметр m — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ; — среднеквадратическое отклонение (σ; ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ; = 0 и стандартным отклонением σ; = 1.

Для вычисления вероятности того, что нормально распределенная случайная величина X будет принимать значения в промежутке используется формула
.
Пример задачи:
Задача. Случайная величина X распределена нормально. Её математическое ожидание a = 2, а среднее квадратическое отклонение . Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу .
Решение. Воспользуемся формулой
.
По условию , следовательно,

Так как функция Лапласа нечетна, то
Таким образом, .
По таблице значений функции Лапласа (см. ниже) находим
.
Таким образом, искомая вероятность равна .

Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(х_i) называют законом распределения случайной величины. Хотя можно представить себе бесконечное разнообразие случайных величин, законов распределения гораздо меньше. Во-первых, различные случайные величины могут иметь совершенно одинаковые законы распределения. Например: пусть y принимает всего 2 значения 1 и -1 с вероятностями 0.5; величина z = -y имеет точно такой же закон распределения.
Во-вторых, очень часто случайные величины имеют подобные законы распределения, т.е., например, р(х) для них выражается формулами одинакового вида, отличающимися только одной или несколькими постоянными. Эти постоянные называются параметрами распределения.

Хотя в принципе возможны самые разные законы распределения, здесь будут рассмотрены несколько наиболее типичных законов. Важно обратить внимание на условия, в которых они возникают, параметры и свойства этих распределений.

1. Равномерное распределение
Так называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения в интервале (a,b), причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри (a,b) пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне (a,b) равна 0.

Рис 6.1 Функция и плотность равномерного распределения

Параметры распределения: a, b

2. Нормальное распределение
Распределение с плотностью, описываемой формулой

(6.1)

называется нормальным. (Рисунок 6.2)
Параметры распределения: a, σ

Рисунок 6.2 Типичный вид плотности и функции нормального распределения

3. Распределение Бернулли
Если производится серия независимых испытаний, в каждом из который событие А может появиться с одинаковой вероятностью р, то число появлений события есть случайная величина, распределенная по закону Бернулли, или по биномиальному закону (другое название распределения).

(6.2)

Здесь n - число испытаний в серии, m - случайная величина (число появлений события А), Р_n(m) - вероятность того, что А произойдет именно m раз, q = 1 - р (вероятность того, что А не появится в испытании).

Пример 1: Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Параметры распределения: n, р

4. Распределение Пуассона
Распределение Пуассона получается как предельный случай распределения Бернулли, если устремить р к нулю, а n к бесконечности, но так, чтобы их произведение оставалось постоянным: nр = а. Формально такой предельный переход приводит к формуле

(6.3)

Параметр распределения: a

Распределению Пуассона подчиняются очень многие случайные величины, встречающиеся в науке и практической жизни.

Пример 2: число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи в течение часа.
Разобьем интервал времени Т (1 час) на малые интервалы dt, такие что вероятность поступления двух и более вызовов в течение dt пренебрежимо мала, а вероятность одного вызова р пропорциональна dt: р = μdt;
будем рассматривать наблюдение в течение моментов dt как независимые испытания, число таких испытаний за время Т: n = T / dt;
если предполагать, что вероятности поступления вызовов не меняются в течение часа, то полное число вызовов подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = T / dt, р = μdt. Устремив dt к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р = μТ.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), где X и У—зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением (точное приближение, вообще говоря, невозможно) величины Y в виде линейной функции величины X:

где α и β — параметры, подлежащие определению. Это можно сделать различными способами: наиболее употребительный из них—метод наименьших квадратов.

Функцию g(X)=αX+β называют «наилучшим приближением» Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание М [Y—g(X)]2 принимает наименьшее возможное значение; функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на X.

Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X имеет вид

где m_x=M(X), m_y=M(Y), σ_x=√D(X), σ_y=√D(Y), r=µ_xy/(σ_xσ_y)— коэффициент корреляции величин X и Y.

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию двух независимых аргументов α и β:
Учитывая, что М (X—m_x)=M(Y—m_y) = 0, М[(X—m_х)∙(Y—m_y)] = µ_xy = rσ_xσ_y, и выполнив выкладки, получим

F(α, β) = σ_y²+ β² σ_x²—2r σ_xσ_yβ+(m_y—α—βm_x)². (*)

Исследуем функцию F(α, β) на экстремум, для чего приравняем нулю частные производные:

Отсюда,

Легко убедиться, что при этих значениях α и β рассматриваемая функция принимает наименьшее значение.

Итак, линейная средняя квадратическая регрессия Y и X имеет вид:

или

Коэффициент β=rσ_y/σ_x называют коэффициентом регрессии Y на X, а прямую

называют прямой среднеквадратической регрессии Y на X. Подставив найденные значения α и β в соотношение (*), получим минимальное значение функции F (α, β), равное σ_y²(1—r²). Величину σ_y²(1—r²) называют остаточной дисперсией случайной величины Y относительно случайной величины X; она характеризует величину ошибки, которую допускают при замене У линейной функцией g(X)=α + βX. При r = ±1 остаточная дисперсия равна нулю; другими словами, при этих крайних значениях коэффициента корреляции не возникает ошибки при представлении Y в виде линейной функции от X.
Итак, если коэффициент корреляции г = ± 1, то Y и X связаны линейной функциональной зависимостью.
Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии X на Y:

(rσ_x/σ_y — коэффициент регрессии X на Y) и остаточную дисперсию σ_x²(1—r²) величины X относительно Y.
Если r = ± 1, то обе прямые регрессии, как видно из уравнений, совпадают.
Из уравнений прямых среднеквадратической регрессии следует, что обе прямые регрессии проходят через точку (m_x; m_y), которую называют центром совместного распределения величин X и Y.

Математическая статистика – это наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных. Любая наука решает в порядке возрастания сложности и важности следующие задачи:

1) описание явления;

2) анализ и прогноз;

3) поиск оптимального решения.

Такого рода задачи решает и математическая статистика:

1) систематизировать полученный статистический материал;

2) на основании полученных экспериментальных данных оценить интересующие нас числовые характеристики наблюдаемой случайной величины;

3) определить число опытов, достаточное для получения достоверных результатов при минимальных ошибках измерения.

Одной из задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез. Она может быть сформулирована следующим образом: имеется совокупность опытных данных, относящихся к одной или нескольким случайным величинам. Необходимо определить, противоречат ли эти данные той или иной гипотезе, например, гипотезе о том, что исследуемая случайная величина распределена по определенному закону, или две случайные величины некоррелированы (т.е. не связаны между собой) и т.д. В результате проверки правдоподобия гипотезы она либо отбрасывается, как противоречащая опытным данным, либо принимается, как приемлемая.

Таким образом, математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в полученных опытных данных, оценить, значимы или нет определенные наблюденные факты, принять или отбросить те или иные гипотезы о природе рассматриваемого явления.

Основной целью математической статистики является установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления. Для этого решаются следующие основные задачи: определение способов сбора и обработки информации — результатов наблюдений. Пусть требуется определить наличие какого-либо признака, характеризующего объект, в большой совокупности однородных объектов. Например, это может быть дефект детали в большой партии одинаковых деталей. Для этого можно провести сплошное исследование всей партии деталей (совокупности). Однако часто такой подход оказывается невозможным по ряду причин. Во-первых, совокупность однородных объектов может быть очень большой, и тогда, анализ всей совокупности оказывается очень трудоемким. Во-вторых, исследование может быть очень дорогим или быть связано с разрушением объекта, и тогда, сплошное исследование становится бессмысленным. В таких случаях поступают по-другому: из всей совокупности отбирают некоторое число объектов и исследуют только их. Это число должно быть мало по сравнению со всей совокупностью, но достаточно велико, чтобы в этой отобранной группе уже начали проявляться статистические закономерности. Введем основные понятия, использующиеся в математической статистике.

Определение. Выборочной совокупностью (или выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Определение. Генеральной совокупностью называют совокупность всех объектов, из которых производится выборка.

Определение. Объемом совокупности называют число объектов в этой совокупности.

 

Пример. Из 10000 деталей случайным образом выбирают 100 для исследования. Объем выборки — 100 деталей, объем генеральной совокупности — 10000 деталей. Выборку можно осуществлять различными способами. Если отобранный предмет после исследования возвращается в генеральную совокупность и снова может участвовать в отборе, то такую выборку называют повторной . Разумеется, такой способ возможен, когда объект не разрушается в результате исследования. Если отобранный предмет после исследования не возвращается в генеральную совокупность, то такую выборку называют бесповторной . По смыслу выборки она должна быть мала по сравнению с генеральной совокупностью, поскольку иначе можно было бы проводить сплошное исследование. Именно такой случай малых выборок мы и будем в дальнейшем иметь в виду. Тогда, при возвращении объекта в генеральную совокупность после исследования, вероятность отобрать его снова мала и, фактически, нет разницы между повторной и бесповторной выборками. Поэтому в дальнейшем мы не будем конкретизировать способ выборки, а будем пользоваться более удобным способом в вычислениях. В определении выборки указывалось, что это совокупность случайно отобранных объектов. Задача случайного отбора не всегда является тривиальной и, в ряде случаев, требует специальных построений для того, чтобы отбор был действительно случайным. Кроме того, объем выборки должен быть достаточно большим, что бы начали проявляться закономерности обусловленные законом больших чисел. Такую выборку часто называют репрезентативной (представительной) выборкой .Чтобы обеспечить репрезентативность выборки, выделяют несколько способов отбора объектов.

1. Простой случайный отбор . Объекты перемешивают и вытаскивают по одному наудачу. Если перемешивание объектов технически неосуществимо, то объекты перенумеровывают и вытаскивают наудачу соответствующие номера объектов. В частности, это можно сделать на компьютере с помощью генератора случайных чисел. Компьютер генерирует случайную последовательность чисел, и объекты с соответствующими номерами отбираются в выборку.
2. Типический отбор . Генеральная совокупность делится на отдельные части и из каждой части наудачу отбирается некоторое количество объектов, при этом пропорции между количеством отобранных предметов каждой из частей определяются пропорциями объемов этих частей в генеральной совокупности. Такой способ отбора удобен, когда отдельные части генеральной совокупности имеют сильно различающиеся свойства. Например, при проведении опроса о предпочтениях избирателей на выборах в выборку отбираются избиратели из различных групп — возрастных, по месту проживания, роду деятельности и т.п. в пропорциях соответствующих доле той или иной группы среди всех избирателей.
3. Механический отбор . Генеральная совокупность делится по порядку на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы выбирается один объект. Например, для проверки берут каждую десятую деталь, изготовленную станком. При таком отборе надо иметь в виду, что периодичность отбирания деталей в выборку не должна совпадать с каким-либо другим периодом в формировании объектов. Если через каждые десять изготовленных деталей на станке нужно менять фрезу, то отбор каждой десятой детали нецелесообразен, поскольку если деталь берут сразу после замены фрезы, то такая выборка будет давать качество деталей лучше, чем на самом деле. Если деталь взять перед заменой фрезы, то такая выборка ухудшит показатели по сравнению с реальными.
4. Серийный отбор . Генеральная совокупность делится на группы и для исследования берется одна из групп. Такой способ удобен, когда различные группы не сильно отличаются по своим свойствам. Например, если детали изготовлены на большом количестве одинаковых станков, то для исследования можно выбрать детали, изготовленные одним из станков.

Применяют также и различные комбинации упомянутых выше способов отбора. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка из n объектов. Пусть значение некоторого признака объекта x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂наблюдалось n₂ раз и так далее. Разумеется, . Значения x_i называются вариантами , а значения n_i — частотами . Варианты, записанные в возрастающем порядке, называют вариационным рядом . Отношения называют относительными частотами , при этом .Определение. Статистическим распределением выборки называют совокупность вариантов и соответствующих им частот (или относительных частот).Определение. Эмпирической функцией распределения (или функцией распределения выборки) называют функцию , где n_x — число вариант со значением меньше x.

Определение. Теоретической функцией распределения называют функцию распределения генеральной совокупности. Следует отметить, что относительная частота обладает всеми свойствами вероятности, статистическое распределение обладает всеми свойствами закона распределения, а эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами функции распределения случайной величины. В силу закона больших чисел, при больших n относительная частота, статистическое распределение и эмпирическая функция распределения будут близки к вероятности, закону распределения и функции распределения соответственно. Несложно обобщить данные понятия и на случай когда варианты принимают не дискретные, а непрерывные значения, нужно только под каждым x_i понимать некоторый интервал значений.

Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Просматривая это множество чисел, трудно выявить какую-либо закономерность их варьирования (изменения). Для изучения закономерностей варьирования значений случайной величины опытные данные подвергают обработке.

Пример 1. Проводились наблюдения над числом Х оценок полученных студентами ВУЗа на экзаменах. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5. Здесь число Х является дискретной случайной величиной, а полученные о ней сведения представляют собой статистические (наблюдаемые) данные.

Расположив приведенные выше данные в порядке неубывания и сгруппировав их так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины будут одинаковы, получают ранжированный ряд данных наблюдения.

В примере 1 имеем четыре группы со следующими значениями случайной величины: 2; 3; 4; 5. Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называют вариантом, а изменение этого значения варьированием.

Варианты обозначают малыми буквами латинского алфавита с соответствующими порядковому номеру группы индексами - x_i. Число, которое показывает, сколько раз встречается соответствующий вариант в ряде наблюдений называют частотой варианта и обозначают соответственно - n_i.

Сумма всех частот ряда - объем выборки. Отношение частоты варианта к объему выборки n_i / n = w_i называют относительной частотой.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот (табл. 1, табл. 2).

Пример 2. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

Таблица 1

xi
ni

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

W₁ = 3/20 = 0,15; W₂ = 10/20 = 0,50; W₃ = 7/20 = 0,35.

Напишем распределение относительных частот:

Таблица 2

xi
wi	0,15	0,50	0,35

Контроль: 0,15 + 0,50 + 0, 35 = 1.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Дискретным вариационным рядом распределения называют ранжированную совокупность вариантов x_i с соответствующими им частотами n_i или относительными частотами w_i.

Для рассмотренного выше примера 1 дискретный вариационный ряд имеет вид:

Таблица 3

xi
ni
wi	8/60	12/60	23/60	17/60

Непрерывный вариационный ряд - ряд, построенный на основе количественного статистического признака. Пример. Средняя продолжительность заболеваний осужденных (дней на одного человека) в осенне-зимний период в текущем год составила:

7,0	6,0	5,9	9,4	6,5	7,3	7,6	9,3	5,8	7,2
7,1	8,3	7,5	6,8	7,1	9,2	6,1	8,5	7,4	7,8
10,2	9,4	8,8	8,3	7,9	9,2	8,9	9,0	8,7	8,5

Произведите группировку по средней заболеваемости, дней на 1-го человека. Составьте непрерывный вариационный ряд (закрытый и открытый). Укажите, какие из выделяемых групп являются наиболее типичными.
Решение будем проводить с помощью сервиса Группировка данных.
Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса
n = 1 + 3,2log n
n = 1 + 3,2log(30) = 6
Ширина интервала составит:
h = (Xmax - Xmin)/n
Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.
Xmin - минимальное значение группировочного признака.
Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
	5.8	6.53
	6.53	7.26
	7.26	7.99
	7.99	8.72
	8.72	9.45
	9.45	10.2

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.
Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

5.8	5.8 - 6.53
5.9	5.8 - 6.53
	5.8 - 6.53
6.1	5.8 - 6.53
6.5	5.8 - 6.53
6.8	6.53 - 7.26
	6.53 - 7.26
7.1	6.53 - 7.26
7.1	6.53 - 7.26
7.2	6.53 - 7.26
7.3	7.26 - 7.99
7.4	7.26 - 7.99
7.5	7.26 - 7.99
7.6	7.26 - 7.99
7.8	7.26 - 7.99
7.9	7.26 - 7.99
8.3	7.99 - 8.72
8.3	7.99 - 8.72
8.5	7.99 - 8.72
8.5	7.99 - 8.72
8.7	7.99 - 8.72
8.8	8.72 - 9.45
8.9	8.72 - 9.45
	8.72 - 9.45
9.2	8.72 - 9.45
9.2	8.72 - 9.45
9.3	8.72 - 9.45
9.4	8.72 - 9.45
9.4	8.72 - 9.45
10.2	9.45 - 10.18

 

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Группы	№ совокупности	Частота f i
5.8 - 6.53	1,2,3,4,5
6.53 - 7.26	6,7,8,9,10
7.26 - 7.99	11,12,13,14,15,16
7.99 - 8.72	17,18,19,20,21
8.72 - 9.45	22,23,24,25,26,27,28,29
9.45 - 10.18

Закрытый непрерывный вариационный ряд.

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi
5.8 - 6.53	6.17
6.53 - 7.26	6.9
7.26 - 7.99	7.63
7.99 - 8.72	8.36
8.72 - 9.45	9.09
9.45 - 10.18	9.82

Открытый непрерывный вариационный ряд

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi
до 6.53	6.17
6.53 - 7.26	6.9
7.26 - 7.99	7.63
7.99 - 8.72	8.36
8.72 - 9.45	9.09
более 9.45	9.82

Наиболее типичными из выделяемых групп являются группа [8.72 - 9.45]. Именно на нее приходится наибольшее количество (8). Таким образом, наиболее вероятным является средняя продолжительность заболеваний осужденных (дней на одного человека), которая будет лежать в интервале от 8.72 до 9.45.

25-27, 29