РЕФЕРАТ. по дисциплине: «Математический анализ»

по дисциплине: «Математический анализ»

на тему: «Сжимающие отображения. Доказательство теоремы Пикара»

 

Выполнил:

курсант 62 курса, гр. 631/2

рядовой Руссу В.Ю.

Проверил:

Смышляева Л.Г.

 

г. Санкт-Петербург

2015 г.

Принцип сжимающих отоюражений

Вопросы о существовании и единственностью решений уравнений можно сформулироватьв виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении метрического пространства в себя.

Один из наиболее важных критериев существования и единственности неподвижной точки является принцип сжимающих отображений:

О1. Пусть R метрическое пространство. Отображение A пространства R в себя нызывается сжимающим отображением, если существует число α < 1, что для любых двух точек x,y ∈ R выполняется неравенство:

 

Т1. Всякое сжимающее отображение непрерывно.

Доказательство: Если x_n→x, то исходя из (1) Ax_n → Ax.

О2. Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если Ax = x.

Т2. (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение определенное в полном метрческом пространстве R, имеет одну и токо одну неподвижную точку.

 

 

Применение принципа сжимающих отображений

1) Задача Коши пусть дано диференциальное уравнение

c началным условием

функция определена и непрерывна в плоской области G, содержащей точку (x₀,y₀), и удовлетворяет в этой облмсти условию Липшеца по y:

Докажем, что на некотором сегменте |x-x₀|<= d существует удинственное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию (6) (Теорема Пикара).

Уравнение (5) при начальном условии (6) эквивалентно уравнению

(7)

В силу непрерывности функции f имеем f (х, у)<= K в некото-рой области G' с G, содержащей точку (x₀, y₀). Подберем d > 0 так, чтобы выполнялись условия:

1) (x, у) ∈ G', если |х — х₀ I <= d, I у — у₀ |<= Кd;

2) Мd < 1.

Обозначим через С* пространство непрерывных функций , определенных на сегменте I х — x_0| <= d и таких, что | (x) – у₀| <= Кd, с метрикой Пространство С* полно, так как оно является замкнутым под-пространством полного пространства всех непрерывных функций на [х₀ — d, х₀ + d]. Рассмотрим отображение , определяемое формулой

 

где, |х—х₀|<= d. Это отображение переводит полное пространство С* в себя и является в нем сжатием. Действительно, пусть . Тогда

 

Так как Md<1, то A – сжатие.

Следовательно уравнение (7) имеет одно и только одно решение в пространстве C*.

 

 

Условие Липшеца

 

пусть на некотором множестве задана функция , такая, что для любых и некоторых констант и выполняется неравенство:

 

.

В случае последнее неравенство принято называть условием Липшица, в случае - условием Гёльдера.
С исторической точки зрения это не совсем верно, так как Липшиц в своих исследованиях изначально рассматривал общее условие .

 

Для начала разберемся со случаем .
Рассмотрим значение функции . Посмотрите на картинку:

На ней я нарисовал график функции, удовлетворяющей условию Липшица при

Это условие, по сути, означает, что функция убывает или растет не быстрее, чем некоторая прямая с угловым коэффициентом . Таким образом, график функции не может покинуть закрашенной области в виде двух расходящихся секторов. Причем эти сектора можно безболезненно перемещать вдоль графика. В многомерном случае роль заштрихованых секторов будут играть внешность конусов.

Даже из приведенной картинки сразу видно, что на любом ограниченном интервале (а равно и отрезке. и области, и компакте) функция, удовлетворяющая условию Липшица - ограничена.
Упражнение (очень простое): используя определение, аналитически покажите ограниченность функции с условием Липшица.

Рассмотрим следующую картинку, на которой конусы разместим на границах отрезка.

Как видите, функция с наложенным условием Липшица целиком поместится в зеленом параллелограмме.
Более того, такой параллелограмм можно построить для любой пары сколь угодно близких точек (пример показан на рисунке красным). Таким образом, просто из геометрических соображений мы можем предположить, что липшицева функция непрерывна.
Обратное неверно, далеко не всякая ограниченая (и даже непрерывная) функция удовлетворяет условию Липшица.
Упражнение (очень простое): используя определение, покажите, что условие Липшица не выполняется для функции .

Более того, функция с условием Липшица не просто непрерывна, а равномерно непрерывна. Именно этим свойством в свое время воспользовался Липшиц при выводе достаточных условий равномерной сходимости рядов Фурье.
Упражнение (простое): используя определение, покажите равномерную непрерывность липшицевой функции.

Перепишем условие Липшица в несколько ином виде:

Устремляя получим, что

Таким образом, если предел в левой части неравенства существует (а это не что иное, как определение производной, взятой по модулю), то он ограничен.

Копая в этом направлении долго и упорно, можно показать, что верна:
Теорема Радемахера: функция, удовлетворяющая условию Липшица на множестве дифференцируема на нём почти всюду (т.е всюду, за исключением, быть может некоторого множества меры ноль).
[ Пояснение про множества меры ноль. ]
Как эта теорема доказывается и что интересного из этого выходит, я расскажу как-нибудь в другой раз.

Теорема: непрерывно дифференцируемая на замкнутом и ограниченном функция удовлетворяет на нем условию Липшица, причем