Ряды ТЕМА 10. Ряды

1. Числовые ряды.

2. Функциональные ряды.

3. Степенные ряды.

4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.

5. Ряды Фурье.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.

7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.

 

Решение типового варианта контрольной работы.

 

Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Решение.

а) В данном случае

Вычислим

Следовательно, ряд расходится.

 

б) Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.

Для рассматриваемого ряда

;

Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

 

в) Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда

Вычислим

В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.

 

г) Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь

Вычислим

Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.

 

д) Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его

Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.

 

е) Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Полученный ряд эквивалентен исходному, так как

Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.

 

ж) Так как , то

.

Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.

 

з) Оценим общий член ряда:

.

Ряд

Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.

Пример2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:

Ряд сходится, если

или ;

или ,

.

Ряд расходится, если .

Неопределенный случай: т.е. или ,

Пусть : ‑ сходится.

Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.

Пусть : .

Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

 

Получили, что ‑ область сходимости ряда.

 

Пример 3. Вычислить с точностью интеграл .

Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена:

+...

Вычислим интеграл

.

Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .

 

Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Решение.

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :

Найдем , продифференцировав обе части равенства по :

Окончательно получим:

.

Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье

а) в интервале (-2, 2):

б) по синусам на интервале .

Решение.

Разложение периодической (период ) функции имеет вид:

а) В нашем примере l= 2.

где

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

;

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

Аналогично предыдущему

и окончательно получим:

Подставляя полученные значения в разложение , получим:

б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1).

Рис. 1

 

Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. .

Найдем коэффициенты , используя формулу:

Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:

.

Таким образом, .