Регрессионный анализ

 

Изучение корреляционной связи между признаками начинается с регрессионного анализа, который решает проблему установления формы связи, вида уравнения регрессии, определения параметров уравнения регрессии.

В регрессионном анализе различают уравнения парной (простой) и множественной (многофакторной) регрессии. Когда связь с результативным признаком у осуществляется с одним видом факторного признака х, то уравнение регрессии называется уравнением парной регрессии. Если результативный признак у связан с несколькими видами факторных признаков , то такая зависимость называется уравнением множественной регрессии.

Наиболее часто для характеристики корреляционной связи между признаками применяют такие виды уравнений парной регрессии, или корреляционных уравнений:

а) линейный

б) параболический

в) гиперболический

г) степенной и др.,

где а₀, а₁ – параметры уравнений регрессии, который подлежат определению.

Параметры в уравнениях регрессии определяются методом наименьших квадратов. Этот метод наилучшим образом отвечает корреляционной таблице и допускает нахождение таких значений параметра уравнения регрессии, при которых сумма квадратов отклонений табличных (фактических) значений результативного признака у от теоретических значений Y по линии регрессии была бы минимальной:

(9.1)

 

Функция S параметров уравнения регрессии будет минимальной тогда, когда выполняются необходимые условия нахождения экстремума этой функции – равенство нулю первых производных функции по разыскиваемым параметрам:

(9.2)

Из этих условий формируется система нормальных уравнений для нахождения параметров а₀ и а₁.

В случае линейного вида уравнения регрессии (), которое отвечает линейной зависимости между признаками, система нормальных уравнений записывается в виде:

(9.3)

где n – количество единиц совокупности (то есть заданных пар значений х и у).

Решив эту систему, находим такие значения параметров:

или

; , (9.4)

где - средняя из произведения факторного признака на результативный; - средняя из суммы квадратов факторного признака; - квадрат средней из факторного признака.

Использовав уравнение регрессии, можно найти теоретическое значение Y для любого значения факторного признака х.

В уравнении регрессии параметр а₀ экономического смысла не имеет, а геометрически он отвечает значению ординаты линии регрессии Y при х = 0. Параметр а₁ называется коэффициентом регрессии и показывает изменение результативного признака Y при изменении факторного признака х на единицу; геометрически параметр а₁ отвечает углу наклона (в радианах) прямой линии регрессии к горизонтали оси.

Для оценки влияния факторного признака на результативный может рассчитываться коэффициент эластичности в среднем для всей совокупности:

(9.5)

где - средние величины фактических данных соответственно по факторному и результативному признаку в целом по совокупности.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Примерами использования линейного уравнения регрессии являются такие зависимости: между электровооруженностью труда (х) на 1 рабочего и выпуском готовой продукции (у) для однородных предприятий; между стажем работы (х) и выработкой 1 рабочего за смену (у) и др.

Примерами использования параболического уравнения регрессии являются такие зависимости: между выпуском продукции (х) и себестоимостью (у) одного изделия; между товарооборотом (х) и товарным запасом (у) и др.

Примерами использования гиперболического уравнения регрессии могут быть такие зависимости: между товарооборотом (х) и уровнем расходов процентах к товарообороту (у); между выпуском продукции (х) и расходами материала (у) и др.

Примерами использования степенного уравнения регрессии являются: соотношение между основными средствами однородных предприятий (х) и их продукцией; между фондом заработной платы (х) и выпуском продукции (у) и др.

Для выбора вида уравнения регрессии необходимо построить график зависимости фактических данных у=f(x) и по расположению точек на графике установить визуально, к какому виду (линейному или нелинейному) можно отнести линию регрессии.