Оптимальная комбинация ресурсов

Использование аппарата производственных функций дает возможность решения задачи об оптимальном использовании средств, предназначенных для приобретения производственных факторов.

Предположим, что факторы (x₁,..., x_N) могут быть закуплены по ценам (p₁,..., p_N), а объем имеющихся средств для приобретения составляет b (руб.). Тогда соотношение, описывающие множество допустимых наборов факторов имеет вид:

,

Граничная линия этого множества, соответствующая полному использованию имеющихся средств, т.е.

,

называется изокостой, поскольку ей отвечают наборы, имеющие одинаковую стоимость b. Задача об оптимальном использовании средств формулируется так: требуется найти набор факторов, который дает наибольший выпуск продукции при ограниченных финансовых средствах b. Таким образом, требуется найти решение задачи:

Искомое решение находится из системы уравнений:

где l - множитель Лагранжа.

В частности, если число фактором N=2, задача допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Оптимальная комбинация ресурсов

 

Здесь отрезок АВ есть изокоста, кривая R – изокванта, касающаяся изокосты в точке D, которая и соответствует оптимальному набору факторов ().

Полезно привести полное решение поставленной задачи для случая двух факторов, т.е. N=2.

Пусть x₁ = K – капитал (основные фонды);

x₂ = L – труд (рабочая сила);

производственная функция:

;

условие ограниченности ресурса:

,

где r – цена использования машин и оборудование (т.е. услуг капитала), равная норме банковского процента;

w – ставка оплаты труда.

Условия оптимальности имеют вид:

а) .

Это условие означает, что объем используемого капитала должен быть принят на том уровне, когда маргинальная фондоотдача () равна норме процента; дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности.

б) .

Это условие требует, чтобы количество занятой рабочей силы было взято на уровне, когда маргинальная производительность труда () равна ставке заработной платы, т.к. дальнейшее увеличение количества занятых приводит к убыткам (точка на рис. 6.8).

Рис. 6.8. Оптимальное количество занятых

 

Здесь угловой коэффициент касательной в точке А равен w.

Для ПФ типа Кобба-Дугласа задача имеет вид:

найти

при условии

Решение получим следующее:

Множитель характеризует здесь предельную продуктивность финансовых средств, т.е. показывает, на какую величину изменится максимальный выпуск продукции , если объем средств b увеличится на «малую» единицу.

Заметим, что сумма эластичностей капитала (a) и труда (b), характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) при изменении масштаба производства, т.е. когда расход ресурсов (K и L) увеличивается в одинаковое число раз. Если a + b > 1, то отдача возрастает, если a + b = 1, то отдача постоянная, если a + b < 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх.