Образцы типовых задач

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости функции f(x,y)= (x-1)³-6xy+ y³. Выпуклы ли построенные области?

 

2. Задачу нелинейного программирования привести к стандартному виду. Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции; Решить задачу графически. Проверить выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения. На рисунке проверить выполнение условий Куна-Таккера в угловых точках допустимого множества и в точках касания линии уровня целевой функции с границами допустимой области. Найти точки, в которых условия Куна-Таккера выполняются, и определить, какие из ограничений являются активными и в каких точках. Выписать условия Куна-Таккера в найденных точках и рассчитать значения двойственных переменных. Сделать обоснованный вывод о наличии или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.

3. Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы которых известны. Известны также удельные затраты сырья, а также цены продукции. Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода.

4. Подготовлено несколько вариантов стратегий управления фирмой. По каждой стратегии оценен объем прибыли для различных прогнозов , j=1,2,3 будущей ситуации, причем не известно какой из прогнозов реализуется. Вероятность реализации прогноза также не известна. Величины прибыли при реализации каждого из прогнозов приведены в таблице. Найти наилучшие стратегии по критериям максимакса, Байеса-Лапласа, Гурвича, Сэвиджа, а также наилучшую гарантиирующую стратегию и максимальную гарантированную оценку прибыли.

5. Рассмотреть задачу двухкритериальной максимизации на множестве допустимых решений при Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев. Проверить, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого программирования. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера в данной задаче. Выписать и проверить выполнение условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений. Найти решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера через функцию Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в найденном решении.

При выполнении домашнего задания, посвященного решению задач линейного программирования, требуется использовать компьютерную программу, которая позволяет проводить анализ чувствительности. В частности, рекомендуется использовать оптимизатор MS Excel.

Вопросы для контрольной работы

1. Инструментальные переменные и параметры математической модели.
2. Допустимое множество, критерий оптимизации, целевая функция, линии уровня целевой функции.
3. Формулировка детерминированной статической задачи оптимизации.
4. Причины неопределенности в параметрах математической модели и ее влияние на решение.
5. Приведите примеры использования математических моделей для описания поведения экономических агентов.
6. Рациональное поведение с точки зрения теории оптимизации.
7. Использование методов оптимизации в принятии экономических решений.
8. Использование оптимизации в задачах идентификации параметров математических моделей.
9. Глобальный максимум критерия и оптимальное решение.
10. Достаточное условие существования глобального максимума (теорема Вейерштрасса).
11. Причины отсутствия оптимального решения, локальный максимум.
12. Общая задача нелинейного программирования.
13. Необходимое условие локального максимума в общей задаче нелинейного программирования.
14. Функция Лагранжа, седловая точка функции Лагранжа.
15. Достаточное условие оптимальности с помощью функции Лагранжа.
16. Выпуклые множества и их свойства.
17. Определения опорной гиперплоскости и разделяющей гиперплоскости.
18. Понятие выпуклой и вогнутой функций.
19. Достаточное условие выпуклости функции. Свойства выпуклых функций.
20. Задача выпуклого нелинейного программирования.
21. Формулировка теоремы Куна-Таккера.
22. Экономическую интерпретацию множителей Лагранжа.
23. Как решения выпуклой задачи оптимизации зависят от параметров.
24. Формулировка задачи линейного программирования.
25. Нормальная (стандартная) и каноническая формы задачи линейного программирования.
26. Свойства оптимального решения в задаче линейного программирования.
27. Функция Лагранжа и условия Куна-Таккера в задаче линейного программирования.
28. Двойственная задача линейного программирования.
29. Теоремы двойственности в задаче линейного программирования.
30. Интерпретация двойственных переменных в задаче линейного программирования.
31. Анализ чувствительности в задаче линейного программирования.
32. Графический метод решения задачи линейного программирования.
33. В чем состоят методы решения задач линейного программирования, основанные на направленном переборе вершин (симплекс-метод и др.)
34. Какие возможности предоставляет среда MS Excel для решения задач линейного программирования?
35. Градиентные методы решения задачи безусловной оптимизации.
36. Штрафные функции и их роль при поиске решения выпуклой задачи нелинейного программирования.
37. Методы решения задач линейного программирования, основанные на применении штрафных функций.

 

Примерные вопросы для подготовки к экзамену

1. Формулировка задачи выбора решений в условиях неопределенности.

2. Критерии выбора решений в условиях неопределенности (принцип

гарантированного результата, критерий Гурвица, критерий Байеса-

Лапласа, критерий Сэвиджа).

3. Принцип определения множества допустимых гарантирующих программ.

4. Смысл наилучшей гарантирующей программы.

5. Как т используется вероятностная информация о параметрах в задачах

принятия решений при случайных параметрах.

6. В чем состоит принятие решений на основе математического ожидания.

7. Как учитывается склонность к риску.

8. Инструментальные переменные и параметры математической модели.

1. Допустимое множество, критерий оптимизации, целевая функция, линии уровня целевой функции.
2. Формулировка постановки задачи многокритериальной оптимизации.
3. Приведите примеры многошаговых систем в экономике.
4. В чем особенности динамических задач оптимизации.
5. Приведите примеры динамической задачи оптимизации.
6. Что такое многошаговые динамические модели?
7. Что такое непрерывные динамические модели? 70.
8. Что такое управление и переменная состояния в динамических моделях?
9. Приведите примеры задания критерия в динамических задачах оптимизации.
10. В чем состоит метод динамического программирования в многошаговых задачах оптимизации?
11. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана.
12. Как задача оптимизации многошаговой системы сводится к задаче математического программирования?

 

7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины (модуля)

 

 

Основная литература

1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001.
3. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. СПб.: Лань, 2000. (гл. 8, 9).

Дополнительная литература

1. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979.
2. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Издательство «Наука», 1984.
3. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Учебное пособие. М.: Изд. БЕК, 2002.
4. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Издательство «Факториал», 2001.
5. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.
6. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.Н. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.
7. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
8. Райфа Г. Анализ решений. М.: Наука, 1977.
9. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос, 2000.
10. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.
11. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992.
12. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 22. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001. 23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд. БГУ, 1975.