Уравнения для линейных функций

Под Rⁿ будем понимать множество упорядоченных n -ок действительных чисел. Пусть x = (x ₁,…, x_n) и y = (y ₁,…, y_n) – элементы Rⁿ и a – действительное число. Под суммой x + y будем понимать покомпонентную сумму (x ₁+ y ₁,…, x_n + y_n) элементов x и y, а под произведением ax – элемент (ax ₁,…, ax_n). В частности, при n = 2 (n = 3) мы получаем векторы на плоскости (в пространстве) со стандартным сложением и умножением на скаляр.Функцию f: Rⁿ ® Rⁿ назовемлинейной, если для любых x, y Rⁿ и для любых действительных a, b выполняется f (ax + by) = af (x)+ bf (y). В частности, функция 0 (x), равная (0, 0, …, 0) при любом х Rⁿ , является линейной. Множество всех линейных функций f: Rⁿ ® Rⁿ обозначим через L_n. Мы будем говорить, что две линейные функции f, g Î L_n равны, если f (x) = g(x) для любых х Rⁿ. Для функций f, g: Rⁿ ® Rⁿ определим следующие операции: сложение (f + g)(x)= f (x)+ g (x) и умножение (композицию) (f·g) (x)= f (g (x)). В дальнейшем аргумент x будем опускать.

0.1. Конечно ли число элементов в L_n?

0.2. Пусть f, g Î L_n. Можно ли утверждать, что f + g Î L_n, f·g Î L_n?

0.3. Верно ли, что для любых f, g, h Î L_n выполняются законы: ассоциативности (т.е. и ), коммутативности (т.е. и ), дистрибутивности умножения по отношению к сложению (т.е. )? В частности, покажите, что степень корректно (однозначно) определена.

0.4. Пусть функция e_l: Rⁿ → Rⁿ задана следующим образом: e_l (х) = lх = (lх ₁, …, lх_n), где l – некоторое действительное число. Является ли функция e_l линейной?

I. Будем рассматривать случай n = 2. Через l, m будем обозначать некоторые натуральные числа, через a, b, c – заданные линейные функции из L ₂, a 0.

1. Найдите все решения f Î L ₂ следующих уравнений:

1.1. f ² = f.

1.2. f ^l = f

1.3. f ^l = f ^m.

1.4. 0, где функции определены в п. 0.4, 0, l _i – действительные числа.

1.5. af = b.

1.6. af = fb.

1.7. af = fb + c.

1.8. af ²= f, faf=f, f ²= afb.

2. Найдите необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений

af ² + bf + c = 0, faf + bf + c = 0, f ² a + bf + c = 0.

II. Решите задачи I.1 и I.2 для n = 3и для произвольного натурального n > 3.

III. Предложите и исследуйте собственные направления или обобщения этой задачи. В частности, можно попробовать рассмотреть аналогичные вопросы для упорядоченных n ‑ок классов вычетов по модулю простого числа p (или произвольного натурального числа) с аналогичными операциями сложения и умножения на класс вычетов.

 

Решение

Описание «линейной функции» данное в постановке задачи соответствует линейной однородной функции или линейной форме (Wikipedia «Линейная функция»), то есть функции вида

, где так как только для однородной линейной функции выполняется равенство .

1.1Конечно ли число элементов в L_n?

Количество элементов в есть всевозможные наборы из n переменных. То есть в функции каждый . От этого и зависит входит i-ая переменная функцию или нет.

Тогда общее количество таких функций = .

1.2Пусть f, g Î L_n. Можно ли утверждать, что f + g Î L_n, f·g Î L_n?

1) -?

.

2)

+ + =

Очевидно, что при =>

1.3Верно ли, что для любых f, g, h Î L_n выполняются законы: ассоциативности (т.е. и ), коммутативности (т.е. и ), дистрибутивности умножения по отношению к сложению (т.е. )? В частности, покажите, что степень корректно (однозначно) определена.

1) Ассоциативность

1.

2.

1.

Если

, то очевидно и в левой и в правой частях равенства перед каждым x будет стоять после приведения подобных слагаемых и расположению коэффициентов в указанном порядке (а расположить их можем, так как операции над производятся на множестве R, где описанное выше выполнить можно)

= +

 

 

()

Коэффициенты при также будут определены однозначно, так как на R ассоциативность умножения имеет место быть. Коэффициент перед каждым будет являться произведением суммы всевозможных комбинаций

Таким образом - закон выполняется.

2) Коммутативность.

1. f + g = g + f –?

 

Т.к. для «+» происходит линейное сложение коэффициентов, стоящих у одноименных переменных, то при каждом х: в левой правой части х коэффициенты будут иметь вид ( (в левой части) или () (в правой части), но сложение их происходит в множестве R, а здесь «+» – коммутативно.

 

Ответ: «+» коммутативно в .

 

2.

 

 

Очевидно, что коэффициенты при каждом различны=> коммутативность умножения (композиции) в не выполняется.

 

 

3) Дистрибутивность умножения относительно сложения

Левая часть

1.

2.

Правая часть

Сложим полученные уравнения, получим

Очевидно, что коэффициенты левой и правой части при каждом совпадут, а значит в умножение дистрибутивно относительно сложения.

1.4Пусть функция e_l: Rⁿ → Rⁿ задана следующим образом: e_l (х) = lх = (lх ₁, …, lх_n), где l – некоторое действительное число. Является ли функция e_l линейной?

Функция является линейной, так как

 

I. Будем рассматривать случай n = 2. Через l, m будем обозначать некоторые натуральные числа, через a, b, c – заданные линейные функции из L ₂, a 0.

n=2;

1.1 Найти все решения

1)

O(x) – очевидно решение.

Тогда для выполнения равенства необходимо, чтобы следующая система имела решения:

, a

1.5 af = b

af=b

a(x)=a₁ x + a₂ y

f(x)=

a f = b

a(f) = b

a₁ () + a₂ () = b₁ x + b₂ y Þ =

 

Решение будут те функции f, у которых коэффициент и

 

 

1.6 af = fb

af = fb

a(f) = f(b)

= )+

(