Уравнения для линейных функцийПод Rn будем понимать множество упорядоченных n -ок действительных чисел. Пусть x = (x 1,…, xn) и y = (y 1,…, yn) – элементы Rn и a – действительное число. Под суммой x + y будем понимать покомпонентную сумму (x 1+ y 1,…, xn + yn) элементов x и y, а под произведением ax – элемент (ax 1,…, axn). В частности, при n = 2 (n = 3) мы получаем векторы на плоскости (в пространстве) со стандартным сложением и умножением на скаляр.Функцию f: Rn ® Rn назовемлинейной, если для любых x, y Rn и для любых действительных a, b выполняется f (ax + by) = af (x)+ bf (y). В частности, функция 0 (x), равная (0, 0, …, 0) при любом х Rn , является линейной. Множество всех линейных функций f: Rn ® Rn обозначим через Ln. Мы будем говорить, что две линейные функции f, g Î Ln равны, если f (x) = g(x) для любых х Rn. Для функций f, g: Rn ® Rn определим следующие операции: сложение (f + g)(x)= f (x)+ g (x) и умножение (композицию) (f·g) (x)= f (g (x)). В дальнейшем аргумент x будем опускать. 0.1. Конечно ли число элементов в Ln? 0.2. Пусть f, g Î Ln. Можно ли утверждать, что f + g Î Ln, f·g Î Ln? 0.3. Верно ли, что для любых f, g, h Î Ln выполняются законы: ассоциативности (т.е. и ), коммутативности (т.е. и ), дистрибутивности умножения по отношению к сложению (т.е. )? В частности, покажите, что степень корректно (однозначно) определена. 0.4. Пусть функция el: Rn → Rn задана следующим образом: el (х) = lх = (lх 1, …, lхn), где l – некоторое действительное число. Является ли функция el линейной? I. Будем рассматривать случай n = 2. Через l, m будем обозначать некоторые натуральные числа, через a, b, c – заданные линейные функции из L 2, a 0. 1. Найдите все решения f Î L 2 следующих уравнений: 1.1. f 2 = f. 1.2. f l = f 1.3. f l = f m. 1.4. 0, где функции определены в п. 0.4, 0, l i – действительные числа. 1.5. af = b. 1.6. af = fb. 1.7. af = fb + c. 1.8. af 2= f, faf=f, f 2= afb. 2. Найдите необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений af 2 + bf + c = 0, faf + bf + c = 0, f 2 a + bf + c = 0. II. Решите задачи I.1 и I.2 для n = 3и для произвольного натурального n > 3. III. Предложите и исследуйте собственные направления или обобщения этой задачи. В частности, можно попробовать рассмотреть аналогичные вопросы для упорядоченных n ‑ок классов вычетов по модулю простого числа p (или произвольного натурального числа) с аналогичными операциями сложения и умножения на класс вычетов.
Решение Описание «линейной функции» данное в постановке задачи соответствует линейной однородной функции или линейной форме (Wikipedia «Линейная функция»), то есть функции вида , где так как только для однородной линейной функции выполняется равенство . 1.1Конечно ли число элементов в Ln? Количество элементов в есть всевозможные наборы из n переменных. То есть в функции каждый . От этого и зависит входит i-ая переменная функцию или нет. Тогда общее количество таких функций = . 1.2Пусть f, g Î Ln. Можно ли утверждать, что f + g Î Ln, f·g Î Ln? 1) -? . 2) + + = Очевидно, что при => 1.3Верно ли, что для любых f, g, h Î Ln выполняются законы: ассоциативности (т.е. и ), коммутативности (т.е. и ), дистрибутивности умножения по отношению к сложению (т.е. )? В частности, покажите, что степень корректно (однозначно) определена. 1) Ассоциативность 1. 2. 1. Если , то очевидно и в левой и в правой частях равенства перед каждым x будет стоять после приведения подобных слагаемых и расположению коэффициентов в указанном порядке (а расположить их можем, так как операции над производятся на множестве R, где описанное выше выполнить можно) = +
() Коэффициенты при также будут определены однозначно, так как на R ассоциативность умножения имеет место быть. Коэффициент перед каждым будет являться произведением суммы всевозможных комбинаций Таким образом - закон выполняется. 2) Коммутативность. 1. f + g = g + f –?
Т.к. для «+» происходит линейное сложение коэффициентов, стоящих у одноименных переменных, то при каждом х: в левой правой части х коэффициенты будут иметь вид ( (в левой части) или () (в правой части), но сложение их происходит в множестве R, а здесь «+» – коммутативно.
Ответ: «+» коммутативно в .
2.
Очевидно, что коэффициенты при каждом различны=> коммутативность умножения (композиции) в не выполняется.
3) Дистрибутивность умножения относительно сложения Левая часть 1. 2. Правая часть Сложим полученные уравнения, получим Очевидно, что коэффициенты левой и правой части при каждом совпадут, а значит в умножение дистрибутивно относительно сложения. 1.4Пусть функция el: Rn → Rn задана следующим образом: el (х) = lх = (lх 1, …, lхn), где l – некоторое действительное число. Является ли функция el линейной? Функция является линейной, так как
I. Будем рассматривать случай n = 2. Через l, m будем обозначать некоторые натуральные числа, через a, b, c – заданные линейные функции из L 2, a 0. n=2; 1.1 Найти все решения 1) O(x) – очевидно решение. Тогда для выполнения равенства необходимо, чтобы следующая система имела решения: , a 1.5 af = b af=b a(x)=a1 x + a2 y f(x)= a f = b a(f) = b a1 () + a2 () = b1 x + b2 y Þ =
Решение будут те функции f, у которых коэффициент и
1.6 af = fb af = fb a(f) = f(b) = )+ (
|