Статистические оценки параметров распределения
При обработке опытных данных вид функции (закона) распределения часто заранее известен, и требуется найти некоторые параметры, от которых он зависит. Например, если закон распределения нормальный, то необходимо оценить два параметра: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Если закон распределения показательный, то необходимо оценить значение Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки Для оценки математического ожидания нормального распределения используют среднее арифметическое наблюдаемых значений. Определение. Генеральной средней
где Определение. Выборочной средней
где Замечание. Выборочная средняя может изменятся от выборки к выборке. Т.е. выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, следовательно, можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения. В частности о математическом ожидании и дисперсии. Ясно, что математическое ожидание Определение. Генеральной дисперсией
Пример: Задана генеральная совокупность
Определение: Выборочной дисперсией
Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема n.
причем Требуется по данным выборки оценить неизвестную дисперсию Известно, что если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет давать заниженное значение генеральной дисперсии, т.к. Поэтому выборочную дисперсию исправляют следующим образом
При этом
Эти оценки дисперсии называют смещенной и несмещенной соответственно. Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют “исправленное” выборочное среднее квадратическое отклонение:
Замечание. Сравнивая формулы
|