Статистические оценки

Определение. Точечной оценкой называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, являются точечными.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому, при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Определение. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть - параметр, - найденная по данным выборки статистическая характеристика. Она служит оценкой неизвестного параметра . Ясно, что чем меньше , тем точнее определяется параметр . Другими словами, чем меньше , тем точнее с помощью выборки устанавливается .

Определение. Вероятность называется надежностью (доверительной вероятностью). Обычно надежность оценки задается заранее, причем в качестве берут число, близкое 1. Наиболее часто задаются надежности 0,95;0,99 и 0,999.

Очевидно, из следует .

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна . Интервал называется доверительным интервалом.

Возможные задачи:

I. Нормальное распределение случайной величины зависит от двух параметров – математического ожидания и среднего квадратического отклонения. Пусть из них известно только среднее квадратичное отклонение . Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней.

Найдем , т.е. .

Решение основано на формуле , которая была приведена в предыдущем параграфе.

Заменим в этой формуле через . В результате несложных преобразований, получается

где .

Число определяется из по таблице функции Лапласа.

Замечания. 1) при возрастании объема выборки n число убывает, следовательно, точность оценки увеличивается.

2) при увеличении надежности оценки, t – возрастает, т.к. возрастающая функция, а значит - возрастает. Следовательно, увеличение надежности влечет за собой уменьшение ее точности.

Пример: Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным =3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания по выборочным средним, если объем выборки n=36 и надежность оценки .

Решение: , значит, .

.

Доверительный интервал .

II. Пусть X распределено нормально и среднее квадратичное отклонение неизвестно. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительных интервалов.

,

где s – исправленное среднее квадратичное значение, а = ищется по приложению 3 по и n.

Пример: Количественный признак X генеральной совокупности имеет нормальное распределение. По выборке объема n=16 найдены и s=0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью .

Решение: , значит, .

.

Доверительный интервал .