Средние величины

Вариационный ряд – ряд числовых измерений какого-либо признака, отличающихся друг от друга по своей величине и расположенных в определенном порядке (возрастания или убывания). Каждое числовое значение в вариационном ряду называют вариантой.

Средняя величина – показатель, погашающий индивидуальные различия значений вариант, позволяя сравнивать разные совокупности между собой. Основными средними величинами являются среднее арифметическое, мода, медиана.

Пусть имеется n объектов, для которых измерена некоторая характеристика, и получены значения , ,..., . Среднее арифметическое этих n значений обозначают через М и определяют как

Медиана. Если все элементы совокупности размещены в порядке возрастания или убывания числовых значений признака, то медиана – это такое значение признака, которое делит всю совокупность пополам (стоит в середине вариационного ряда). Обозначается символом Ме.

Если объем совокупности нечетный и равен (2 n +1), и варианты размещены в порядке возрастания их значений:

то .

Если же количество элементов четное и равно 2 n, то нет варианты, которая бы делила совокупность на две равные по объему части:

поэтому в качестве медианы условно берется полусумма вариант, находящихся в середине вариационного ряда:

Медиана обладает важными свойствами, которые в некоторых случаях дают ей преимущество перед другими средними величинами. Например, если при упорядоченном размещении некоторого признака "крайние" значения сомнительные и к тому же резко отличаются от основной массы данных, то в качестве меры центральной тенденции целесообразно использовать медиану. Это связано с тем, что на ее величину эти "крайние" значения никакого влияния не оказывают, а в то же время они могут существенным образом повлиять на значение среднего арифметического.

Среднее арифметическое является хорошей мерой центральной тенденции для количественных данных, не имеющих выбросов; медиана - для порядковых данных и для количественных данных, в том числе и при наличии выбросов. Подобная характеристика нужна и для номинальных данных. Такой характеристикой является мода. Она применяется как для неупорядоченных категорий, так и для упорядоченных, и для количественных данных.

Мода – это такое значение признака, которое встречается наиболее часто. В случае дискретных рядов вычислить моду нетрудно. Достаточно найти варианту, которая встречается наиболее часто, это и будет мода. Будем обозначать моду символом Мо. Если все значения в вариационном ряде встречаются одинаково часто, то считают, что этот ряд не имеет моды.