Составление уравнений, описывающих заданные режимы работы объекта

Изменение уровня воды в водосборнике может быть описано уравнением:

(2.1)

где h – уровень воды в водосборнике, t – время, Q_П – величина водопритока,

Q_Н – производительность насосов, S – площадь поверхности водосборника.

 

 

Тогда:

(2.2)

где h₀ – начальный уровень воды.

Если водоприток стабилен, то уравнение (2.3) примет вид:

(2.3)

Представив моделируемый блок в виде конечного автомата, мы переходим от непрерывной модели к дискретной.

Математической моделью дискретного устройства является абстрактный автомат, определяемый как шестикомпонентный вектор S (A, Z, W, d, g), где:

А =(а₁,…,а_m,…,а_М) – множество внутренних состояний автомата, состоящее из конечного числа элементов (алфавит состояний);

Z =(z₁,…,z_f,…,Z_F) – множество входных сигналов (входной алфавит);

W = (w₁,…,w_g,…,W_G) – множество выходных сигналов (выходной алфавит);

d - множество функций переходов, приводящих некоторому состоянию и входному сигналу в соответствие новое состояние автомата (под действием сигнала автомат переходит из одного состояния в другое),

a_S = d(a_m; z_f), а_S А;

а_S-состояние автомата.

λ - множество функций выходов, ставящих выходной сигнал в соответствие состоянию автомата и входному сигналу,

w_g = λ(a_n; z_k),

а₁ А- начальное состояние автомата.

Под алфавитом здесь понимается непустое множество попарно различных символов. Элементы алфавита называются буквами, а конечная упорядоченная последовательность букв - словом в данном алфавите.

Автомат имеет один вход и один выход. Автомат работает в дискретном времени, принимающем целые неотрицательные значения t=0, l, 2.... В каждый момент t дискретного времени автомат находиться в некотором состоянии a(t) из множества состояний автомата, причем в начальный момент t=0 он всегда находиться в начальном состоянии a(0)=a₁.

В момент t, будучи в состоянии a(t), автомат способен воспринять на входе букву входного алфавита z(t) Z. В соответствии с функцией выходов он выдаст в тот же момент времени t букву выходного алфавита w(t)=λ (a(t), z(t)) и в соответствии с функцией переходов перейдет в следующее состояние a(t+l)=δ (a(t), z(t)); a(t) A, w(t) W. Смысл понятия абстрактного автомата состоит в том, что он реализует некоторое отображение множества слов выходного алфавита W. Иначе, если на вход автомата, установленного в начальное состояние a₁, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита z(0), z(l), z(2),... -входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита w(0), w(l), w(2),... - выходное слово. Относя к каждому входному слову соответствующее выходное слово, мы получим отображение φ, индуцированное абстрактным автоматом.

Таким образом, на уровне абстрактной теории понятие "работа автомата" понимается как преобразование входных слов в выходные слова. Понятие состояния в определении автомата введены в связи с тем, что часто возникает необходимость в описании поведения систем, выходы которых зависят не только от состояния входов в данный момент времени, но и от некоторой предыстории, то есть от сигналов, которые поступали на входы системы ранее. Состояния как раз и соответствуют некоторой памяти о прошлом, позволяя устранить время как явную переменную и выразить выходной сигнал как функцию состояния и входа в данный момент времени.

На практике наибольшее распространение получили 2 класса автоматов -автоматы Мили и Мура. В качестве модели принимаем асинхронный автомат Мура, который описывается следующими уравнениями:

a(t)=δ(z(t), a(t-l)); (2.4)

w(t)=λ(a(t)), (2.5)

где t=0, 1, 2..., a(t) - состояние автомата; z(t), w(t) - входной и выходной сигналы; δ и λ - функции переходов и выходов. Автомат называется конечным, если конечны множества A, Z и W. Чтобы задать конечный автомат S, необходимо описать все компоненты вектора S = (А, Z, W, δ, λ, a₁), то есть входной и выходной алфавиты и алфавит состояний, а также функции переходов и выходов. Среди множества состояний необходимо выделить состояние a₁, в котором автомат находиться в момент t=0. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используются табличный и графический.

Так как в автомате Мура выходной сигнал зависит только от состояния, автомат Мура задается одной отмеченной таблицей переходов, в которой каждому ее столбцу приписаны состояния а_m и выходной сигнал w_g =λ (a_m), соответствующий этому состоянию.

Граф автомата - ориентированный граф, вершины которого соответствуют состояниям, а дуги - переходам между ними. Две вершины графа автомата a_m и a_s (исходное состояние и состояние перехода) соединяются дугой, направленной от a_m к a _s, если в автомате имеется переход из a_m в a_s, то есть если a_s = δ(a_m, z_f) при некотором z_f Z. Дуге (a_m, a_s) графа автомата приписывается входной сигнал z_f и выходной сигнал w_g =δ (a_m, a_s), если он определен, и ставится прочерк в противном случае. Если переход автомата из состояния am в состояние as происходит под действием нескольких входных сигналов, то дуге (а_m, a_s) приписываются все эти входные и соответствующие выходные сигналы. При описании автомата Мура в виде графа выходной сигнал w_g = λ ( a_m) записывается внутри вершины am или рядом с ней.

В данной работе рассматриваются только детерминированные автоматы, у которых выполнено условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Автомат, заданный таблицей переходов, всегда детерминированный, так как на пересечении столбца a_m и строки z_f записывается только одно состояние as =δ(a_m, z_f), если переход определен, и ставится прочерк, если функция δ на паре (a_m, z_f) не определена. Применительно к графическому способу задания автомата условия однозначности означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Выделение в множестве состояний начального состояния объясняется чисто практическими соображениями, связанными с возникающей часто необходимостью фиксировать условия начала работы дискретного устройства. Многие же задачи на уровне абстрактного автомата можно решать, описывая автомат пятеркой S=(A, Z, W, δ, λ,). Автомат S=(A, Z, W, δ, λ, a₁), представляемый шестеркой, то есть с выделенным начальным состоянием, называется инициальным.

Состояние a_s автомата S называется устойчивым, если для любого входа z_f Z такого, что δ(a_m, z_f)= a_s, имеет место δ(a_s,z_f)= a_s. Это означает, что если автомат перешел в некоторое состояние под действием входного сигнала z_f,, то выйти из этого состояния он может только при поступлении на его вход другого, отличного от z_f входного сигнала. Автомат S называется асинхронным, если каждое его состояние as e А устойчиво. Необходимо заметить, что все построенные на практике автоматы - асинхронные, и устойчивость их состояний обеспечивается тем или иным способом, например введением сигналов синхронизации. Очевидно, что если в таблице переходов асинхронного автомата некоторые состояния a _s записаны на пересечении строки z_f и столбца a_m (m S), это состояние обязательно должно встретиться в этой же строке в столбце a_s. В графе асинхронного автомата, если в некоторое состояние есть переходы из других состояний под действием каких-то сигналов, то в вершине а_s должна быть петля, отмеченная символами тех же входных сигналов.