Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях первого порядка

Определение: Линейное дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка вида

, (1)

называется неоднородным или неавтономным уравнением. Ему соответствует однородное или автономное д.у.

(2)

которое имеет общее решение

, (3)

Анализ всего семейства решений:

Пусть - начальное условие, тогда . Нулевое начальное условие влечет . Это состояние равновесия системы (нулевое решение ДУ(2)).

При ненулевых начальных условиях - экспоненциальный процесс ( меняется экспоненциально с изменением времени) затухающий при (убывающий до нуля) и возрастающий при .

Прямая называется фазовой прямой.

Неустойчивое состояние равновесия

 

Устойчивое состояние равновесия

 

 

Плоскость (x; ẋ) называется фазовой плоскостью

 

При λ<0 состояние равновесия x*=0 – неустойчиво.

 

При λ>0 состояние равновесия x* – устойчиво.

Стрелка указывает движение изображающей точки во времени.

Случай

(4)

Очевидно, - постоянное решение (4). Это состояние равновесия уравнения (4). Замена переменной в (4) приводит (4) к виду

(5)

но это есть уравнение (2), тогда общее решение уравнения (4) записывается в виде:

 

 

Фазовые прямые имеют вид:

 

 

Общий случай в (1)

 

ДУ (1) решаем методом вариации произвольной постоянной: решение ищем в виде

,

Уравнение для нахождения c(t): (6)

(7)

Тогда общее решение имеет вид:

(8)

Важный пример

Рассмотрим уравнение

Тогда выражение (7) приобретает вид

=

 

Тогда общее решение выглядит так:

 

(9)

Очевидно, что

есть вынужденное, стационарное периодическое решение уравнения (1). При и стационарное решение устанавливается всегда, т.е. и - установившееся асимптотически устойчивое периодическое решение уравнения (1).

Для уравнения (1) решения (8) изображены в неавтономном фазовом «пространстве» - на плоскости

 

 

- время переходного процесса.

Рассмотрим два примера конкретных динамических систем, приводящихся к рассмотренным уравнениям.

 

На рисунке представлена схема конденсатора емкости С, разряжающегося на сопротивление R. В соответствии с законами Кирхгофа, дифференциальное уравнение разряда конденсатора пишется в виде:

или

и, следовательно, описывается экспоненциальным убывающим процессом с временем уменьшения вдвое, равным

t = R C ln 2.

Это время t пропорционально емкости С и сопротивлению R. При начальном заряде q = q₀

q (t) = q₀ e^-t/RC.

 

Следующий пример – торможение парашюта. Пусть по достижении скорости падения u₀ парашют раскрылся и тормозит падение пропорционально его скорости. Согласно закону Ньютона,

.

Решение этого уравнения следующее:

.

Из него следует, что начальная скорость v ₀(v ₀ > 0) экспоненциально замедляется до постоянной скорости спуска, равной mg / h. График этого процесса изображен на рисунке ниже.

 

До сих пор рассматриваемые нами экспоненциальные процессы носили временной характер, т.е. они менялись экспоненциально с изменением времени.