Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка

Определение: Линейное дифференциальное уравнение (ДУ) второго порядка вида

, (1)

называется неоднородным или неавтономным уравнением. Ему соответствует однородное или автономное д.у.

(2)

Решение ищется в виде , уравнение

(3)

называется характеристическим уравнением. Найдем решения (3)

Возможны три качественно различных случая

,

А) действительные различные корни.

Тогда

 

, поэтому если , то , если , то

тогда .

Нулевое решение - асимптотически устойчиво при

асимптотически неустойчиво при

седловое при .

Б) два равных корня.

Тогда (5)

- решение асимптотически устойчиво

- решение асимптотически неустойчиво

Замечание при , т.к. (правило Лапиталя)

Результат при

 

апериодический процесс, затухание.

Нас интересуют графики x(t), как функции времени t, и фазовые портреты, соответствующие всем рассмотренным случаям. И то, и другое зависит от параметров p и q. Для наглядности введем в рассмотрение плоскость параметров p и q. Граничному случаю, разделяющему разные случаи, отвечает равенство , которому на плоскости соответствует парабола

. На рисунке приведена бифуркационная диаграмма и соответствующие разным областям фазовые портреты.Разбиение плоскости параметров p и q на области соответсвующим различными корням l₁ и l₂ характеристического уравнения: комплексные с отрицательными действительными частями(устойчивый фокус),3) комплексные с положительными действительными частями(неустойчивый фокус), 4) действительные отрицательные(устойчивый узел), 5) действительные положительные(неустойчивый узел) и 6) действительные разных знаков (седло)

 

 

Ниже приведем фазовые портреты, соответствующие различным поведениям систем и состояниям равновесия, более подробно:

• устойчивый и неустойчивый фокус:

 

 

• устойчивый и неустойчивый узел:

 

 

• седло:

 

Напишем мат. модель для рассматриваемой электрической схемы I_a- анодный ток, E_д – напряжение на сетке, относительно катода q-заряд конденсатора. Пусть c, r, l, соответственно емкость конденсатора, сопротивление резистора, индукция катушки, а М- её коэффициент взаимоиндукции с нагрузкой в анодном контуре. Для колебательного контура состоящего из самоиндукции L, емкости C и сопротивления R имеем:

Вид зависимости анодного тока от напряжения на сетке трехэлектродной лампы

Примем, что I_a=α+βE-γE

При этом пренебрегаем самоиндукцией анодном контуре и принимаем, что:

L +R + =M( -

Или

+ + =0

Это уравнение приводится к уравнению Ван дер Поля

-2δ(1-α; ) +ω² U=0

+λ(X²-1) + ω² X=0

2δ=

α= +

 

ω²=

При этом предполагается, что δ>0;α >0; ω² >0 При α=0 и очень малых u уравнение Ван дер Поля превращается в линейный осциллятор с отрицательным трением δ>0 при u²>1/ α;

Коэффициент при становится положительным и можно предполагать, что при этом колебания затухают.Таким образом состояние равновесия осциллятора Ван дер Поля не устойчиво и малые колебания нарастают, а очень большие колебания затухают и следовательно, между ними должно быть устойчивое периодическое движение

 

Компьютерное моделирование: