Информатиканың математикалық негіздері

Енді ақпараттардың компьютерлік формаларымен танысайық. Көптеген мүмкін болатын тәсілдердің ішінен ең қарапайым, сенімді және үнемді тәсіл, бұл ақпараттарды «биттік» деп аталатын түрде өрнектеу мен сақтау тәсілі. Мұндай тәсілде есте сақтау ортасының әрбір бөлшегі мүмкін болатын екі жағдайды иеленеді: ИЯ, ЖОҚ; кернеу бар – кереу жоқ. Бұл бағдарламалық басқару автоматы ретіндегі ДК –дің логикалық ұйымдастырылуы мен физикалық құрылымына байланысты.

Ақпараттарды беретін мұндай жүйенің жұмысының негізінде, біз дәлірек қарастыратын есептеудің екілік жүйесі жатыр.

Бастапқыда анықтаманы жазып алайық. Есептеу жүйесі XE "Есептеу жүйесі" – бұл белгілі бір сандық мағынасы бар сандарды символдар көмегімен атау мен бейнелеу тәсілі.

Сандарды бейнелеу тәсіліне байланысты жүйелер позициялық және позициялық емес болып бөлінеді.

Позициялық есептеу жүйесінде әрбір санның сандық мәні олардың сандағы орналасу жағдайына (позициясына) байланысты. Позициялық емес есептеу жүйесіндегі цифрлар олардың сандағы орындарын өзгерткенде өзінің сандық мәндерін өзгертпейді.

Позициялық есептеу жүйесінде сандарды бейнелеу үшін қолданылатын цифрлар саны жүйенің негізі деп аталады.

Өзімізге балалық кезден таныс ондық позициялық есептеу жүйесінде кез келген санды жазу үшін он цифр қолданылады (жүйенің негізі 10) сонымен бірге әрбір цифр екі ақпарат бере алады: біріншіден өзінің меншікті мәнін 2;3; 4....., екіншіден сандарды жазу кезіндегі орнын.

Мысалға мына санды қарастырайық: 1579320.

Барлық разрядтарды оңнан солға қарай нөмірлейік, әдет бойынша бірлік разрядты нөлдік деп санайық, онда ондық разряд бірінші, жүздік екінші, мыңдық үшінші және тағы ары қарай. Мұндай нөмірлеу толығымен дұрыс, себебі бірлік – бұл 10-ның нөлінші дәрежесі, ондықтар – 10-ның бірінші дәрежесі, жүздіктер – 10-ның екінші және т.с.с., яғни әрбір цифрдың сандар жазылуындағы орналасуы 10-ның қандай дәрезесі оны алмастыра алатындығын көрсететін нұсқау. Ал цифрдың өзінің мәні 10-ды қанша дәрежеге шығару керектігін көрсетеді. Сол себептен, біздің санымыз келесі түрде жазылады: 1*10⁶+5*10⁵+7*10⁴+9*10³+3*10²+2*10¹+0*10⁰.

Ендігі жерде позициялық 2 есептеу жүйесінің мүмкін болатын негіздерінің ең азын таңдап алайық және еркін натурал сандарды екінің дәрежесінің қосындысы көмегімен қалай жазуға болатынын қарастырайық. Екілік сандарды жазу үшін тек қана екі цифр 0 мен 1 қолданылады.

Екілік сандардың жазылу үлгісі 101110.

Бастапқыда ауыстыру кестесін жазайық:

Ондық жүйе	Екілік жүйе
0=0*20 1=1*20 2=1*21+0*20 3=1*21+1*20 4=1*22+0*21+0*20 5=1*22+0*21+1*20 6=1*22+1*21+0*20 7=1*22+1*21+1*20 8=1*23+0*22+0*21+0*20 9=1*23+0*22+0*21+1*20 10=1*23+0*22+1*21+0*20

Ондық сандарды екілік сандарға ауыстыру үшін қарапайым алгоритмді қолдануға болады:

1. Санды 2-ге бөлеміз. Қалдықты (0 немесе 1) және бөліндіні белгілейміз.

2. Егер бөлінді 0-ге тең болмаса, онда оны тағы да 2-ге бөлеміз, және осылай бөлінді қашан 0-ге тең болғанша жалғастырамыз. Егер бөлінді 0-ге тең болса, онда алынған қалдықтарды біріншісінен бастап оңнан солға қарай жазып шығамыз.

A. Мысалға, 23 санын екілік формаға келтірейік.

Алатынымыз: 10111.

Кері операцияны орындау үшін, екіліктердің дәрежелерін сәйкес келетін сандар жазылуының нөлдік емес разрядтарына қосу керек.

Жалпы жағдайда Р негіздегі есептеу жүйесінің кез келген аралас санын жазу келесі түрде орындалады:

a_m-1P^m-1+a_m-2P^m-2+…+a₁P¹+a₀P⁰+a_-1P^-1+a_-2P^-2+…+a_-sP^-s,

мұндағы, төменгі индекстер сандардағы цифрлардың орнын анықтайды (разряд);

-индекстердің оң мәндері – санның бүтін бөлігі үшін (m разрядтар);

-теріс мәндері – бөлшектер үшін (s разрядтар).

Есептеу машиналарында екілік сандар берілуінің екі формасын пайдаланады.

· шынайы форма немесе үтір (нүкте) арқылы белгіленген форма.

· қалыпты форма немесе жылжымалы үтірі (нүктесі) бар форма.

Бағдарламалау кезінде кейбір жағдайда оналтылық есептеу жүйесі қолданылады. Ондық сандарды оналтылық сандарға ауыстыру екіліктегідей алгоритммен жүзеге асырылады, тек қана бөлгіш ретінде 16 алынады. Белгілеу үшін 16 символ қолданылады: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15).

ДК барлық ақпарат екілік кодтар түрінде беріледі. Жұмысқа ыңғайлы болу үшін екілік разрядтар жиынтығын белгілейтін келесі терминдер енгізілген. Бұл терминдер әдетте ЭЕМ-де сақталатын немесе өңделетін ақпараттар көлемінің өлшем бірлігі ретінде қолданылады.