Особенности периодических процессов в электрических цепях с инерционными элементами

Характер протекания динамических процессов в нелинейных цепях существенно зависит от того, успевают ли свойства нелинейного элемента "следить" за изменением тока и напряжения на элементе. Если нелинейность элемента связана с температурной зависимостью сопротивления, что мы наблюдаем, в частности, у лампочки накаливания, то при достаточно быстрых изменениях тока через лампу (например, при питании ее от сети с частотой 50 Гц) нить лампы имеет в течение периода практически постоянную температуру, а следовательно и ее сопротивление R сохраняется неизменным. Поэтому формы кривых тока i и напряжения на лампе u = Ri в течение периода будут подобны. Такие элементы являются инерционными. Их нелинейность не проявляется при достаточно быстрых изменениях тока и напряжения, и их зависимости для мгновенных значений i (u) линейны. Она проявляется при изменении амплитуд или действующих величин периодических тока и напряжения — их вольтамперная характеристика I (U), связывающая действующие значения, представляет собой нелинейную зависимость.

У безынерционных нелинейных элементов нелинейность проявляется и в отношении мгновенных значений тока и напряжения. Поэтому при подаче на элемент, например, синусоидального напряжения, ток в нем будет иметь форму, отличную от синусоиды. К таким элементам относятся электронные приборы: диоды и транзисторы. При невысоких частотах носители тока в них не обладают существенной инерцией. Однако деление реальных компонентов электрических цепей на инерционные и безынерционные носит относительный характер. Так, при частотах в несколько герц сопротивление лампы накаливания уже успевает изменяться в течение периода, и этот элемент следует рассматривать как безынерционный. С другой стороны, при подаче на диод напряжения достаточно высокой частоты инерционность его свойств становится существенной.

При периодических процессах в нелинейных цепях, содержащих только инерционные элементы, параметры элементов в течение периода сохраняются неизменными, и можно использовать методы расчета периодических процессов в линейных цепях — векторные диаграммы, комплексный метод, спектральные методы. Это существенно упрощает анализ динамических режимов нелинейных цепей с инерционными элементами.

Процессы в цепях с безынерционными элементами имеют более сложный характер. При питании таких цепей от синусоидального источника токи и напряжения являются обычно периодическими с периодом сигнала источника, но не синусоидальными, так как содержат высшие гармоники с частотами, кратными частоте источника.

В таких цепях могут наблюдаться и гармонические составляющие с частотами, в некоторое число раз меньшими основной частоты — субгармоники, а также кратные им. При периодическом возбуждении нелинейных цепей в определенных условиях возможно также возникновения непериодического режима.

Если в цепи с нелинейными безынерционными элементами, питаемой от источника периодического сигнала, наблюдается периодический режим, то токи и напряжения на ее участках содержат первую и высшие гармоники. Покажем это на примере простейшей цепи, включающей безынерционный резистор с характеристикой, описываемой формулой i = au ³ (рис. 29.1, а, кривая 1). При питании резистора от источника синусоидального напряжения u = U_m sinw t ток в нем равен i = aU_m ³sin³w t (рис. 29.1, б).

Рис. 29.1

Используя тригонометрическое тождество sin³a = ¾ sina - ¼ sin3a, определим его гармонический состав:

.

Так, при синусоидальном напряжении на резисторе его ток содержит 1-ю и 3-ю гармоники. Если, наоборот, через резистор протекает синусоидальный ток i = I_m sinw t, то напряжение на нем u = (I_m / a sinw t)^1/3 несинусоидально (рис. 29.1, в) и содержит бесконечное число гармоник с нечетными индексами (1, 3, 5,...): U_{m 1} = 1,160(I_m / a)^1/3, U_{m 3} = 0,232(I_m / a)^1/3, …

Аналогично связаны токи и напряжения в цепях с безынерционными катушками и конденсаторами. Цепи с безынерционными элементами можно использовать в качестве генераторов гармоник — спектр их выходного сигнала содержит частоты, отсутствующие в спектре входного сигнала. Это позволяет в нелинейных цепях осуществлять преобразования частоты, не реализуемые в линейных цепях, принципиально не способных генерировать гармонические составляющие, отсутствующие в спектре входного сигнала.

Еще более сложный характер имеют процессы в цепях, в которых действуют несколько источников с различными частотами. Например, при действии двух источников с частотами w₁ и w₂ нелинейные связи тока и напряжения на безынерционном элементе приведут к появлению в спектре сигналов не только высших гармоник 2w₁, 3w₁, … и 2w₂, 3w₂, …, но и комбинационных частот — составляющих с частотами w₁ + w₂, w₁ - w₂ и кратных им. Это еще более расширяет возможности преобразования спектров сигналов нелинейными цепями и используется на практике для модуляции и детектирования.