Волновые процессы в линиях электропередач

При прямых ударах молнии в линию электропередач (ЛЭП) или вблизи неё в землю, включении или отключении источников питания, обрывах, коротких замыканиях возникают электромагнитные волны, распространяющиеся от точки внезапного изменения напряжения вдоль проводов ЛЭП в обе стороны. Движение и преломление этих волн приводит к возникновению перенапряжений, воздействующих на изоляцию оборудования ЛЭП, электрических станций и подстанций. Поскольку ЛЭП обладают достаточной протяжённостью, то их напряжения и токи меняются как с течением времени, так и в зависимости от координаты. Линии электропередач высокого напряжения имеют малые активные сопротивления проводов и совершенную изоляцию. Поэтому в первом приближении при исследовании электромагнитных процессов в них можно пренебречь потерями. В этом случае уравнения Кирхгофа, записанные для элемента линии длиной , имеющем на единицу длины продольную индуктивность L ₀ и поперечную емкость C ₀, преобразуются в дифференциальные уравнения:

Решение этих уравнений может быть представлено в виде суммы двух функций, называемых прямой и обратной волнами:

Здесь u ₁₂ и i ₁₂ – прямые (или падающие) волны, соответственно, функции напряжения и тока от расстояния x, перемещающиеся в сторону положительных значений координаты x, а u ₁₂ и i ₁₂ – обратные ( или отражённые) волны, причём i ₁₂ = u ₁₂ /Z; i ₂₁ = – u ₂₁ /Z; – волновое сопротивление ЛЭП; – скорость распространения волны по линии; c = 300 000 км/с (300 м/мкс) – скорость света; – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды (изоляции).

Таким образом, напряжение (ток) в любой точке линии следует определять в виде суммы двух волн – прямой и обратной, бегущих навстречу друг другу со скоростью n. В более общем случае, напряжение (ток) в любой точке линии равно сумме всех падающих и отраженных волн, присутствующих в данный момент времени в данной точке. В этом и состоит сущность волнового метода анализа переходных процессов в длинных линиях.

Поскольку целью нашего изучения являются перенапряжения, то в дальнейшем будем рассматривать только волны напряжения.

Прямую волну напряжения u ₁₂, распространяющуюся от точки своего возникновения в направлении, принимаемом за положительное, создаёт источник (в нашем случае – разряд молнии). Обратная волна напряжения u ₂₁ появляется (и следовательно, определяется) только в узловых точках – в точках, в которых меняется однородность линии. Таковыми являются, например, точки соединения двух линий с разными волновыми сопротивлениями, подключения нагрузки, образования разрывов и т. п. В них происходит отражение и преломление волн. Отражённая (обратная) волна возвращается в линию, по которой пришла прямая (падающая) волна от источника, а преломлённая в узловой точке волна, продолжает двигаться в прежнем положительном направлении.

До того момента времени, пока отражённая от узловой точки волна не пришла в точку наблюдения, напряжение в ней определяется лишь падающей волной: u = u ₁₂. После прихода отражённой волны напряжение в точке наблюдения уже равняется сумме двух волн: u = u ₁₂+ u ₂₁.

Заметим, что в узловой точке, например 2, отражённая волна появляется одновременно с приходом падающей. Поэтому напряжение в узловой точке сразу определяется либо как сумма волн падающей u ₁₂ и отраженной u ₂₁, либо равняется преломлённой волне u ₂. Результат в обоих случаях совпадает.

Связь между отражённой и падающей волнами удобно устанавливать при помощи коэффициента отражения , а между преломлённой и падающей – с использованием коэффициента преломления :

u ₂₁ = · u ₁₂; u ₂ = · u ₁₂,

для которых выполняется соотношение , вытекающее из выражения, отражающего суть волнового метода: u ₂ = u ₁₂ + u ₂₁.

В случаях, если у линии с волновым сопротивлением Z нагрузкой является эквивалентное активное сопротивление Z _Н, то коэффициенты отражения и преломления определяются по формулам: и .

Линию, по которой распространяется волна, можно считать бесконечно длинной, если при анализе процессов на одном из её концов по каким-либо причинам допустимо не учитывать процессы, происходящие на другом её конце.

Пусть прямая (падающая) волна u ₁₂ распространяется вдоль бесконечно длинной линии 1-2 с волновым сопротивлением Z ₁, нагруженной на активное сопротивление Z _Н = R ₂ (рис. 1.1.1). Тогда напряжение в конце линии (преломлённая волна) , а отраженная волна напряжения . Здесь и –коэффициенты, соответственно, преломления и отражения волны в точке 2: ; , для которых справедливо соотношение . Здесь индексы «₁₂» у коэффициента преломления и «₂₁» у коэффициента отражения указывают, что преломлённая волна u ₂, хотя и переходит в другую среду, движется в том же направлении, что и падающая волна u ₁₂ (от точки 1 к точке 2), а отражённая волна u ₂₁ возвращается в прежнюю среду и перемещается в противоположном направлении.

В частном случае, если линия в конце разомкнута, то R ₂ = ∞;; = 2; = 1,т. е. в точке 2 происходит отражение падающей волны без изменения величины и знака, а преломлённая волна равняется удвоенному значению падающей.

Пусть узловая точка – это точка соединения двух линий 1-2 и 2-3 с волновыми сопротивлениями Z ₁и Z ₂ (рис. 1.1.2). При этом линии 1-2 и 2-3 считаются бесконечно длинными, т. е. в рассматриваемые моменты времени волны, отраженные от точек 1 и 3, не успевают вернуться в точку 2. Тогда u ₃₂ = 0 и u ₂ = u ₂₃+ u ₃₂ = = u ₂₃= u ₁₂. Таким образом, задача о нахождении u ₂₃и u ₂в такой схеме может быть сведена к определению u ₂в схеме на рис. 1.1.1 при условии, что нагрузкой для линии 1-2 является линия 2-3, представленная своим волновым сопротивлением Z _Н = Z₂. Дополнительно учитывать влияние нагрузки самой линии 2-3 было бы ошибочно, поскольку, по условию задачи, процессы в точке 3 на напряжение в точке 2 не влияют.

Рис. 1.1.1. ЛЭП, нагруженная Рис. 1.1.2. Соединение двух

на активное сопротивление ЛЭП с разными волновыми

сопротивлениями

В рассмотренных примерах напряжение в точке 2 может быть найдено также с помощью схемы с сосредоточенными параметрами – схемы замещения Петерсена (рис. 1.1.3). Эта схема получена из исходных (см. рис. 1.1.1 и 1.1.2) заменой линии 1-2 с приходящей волной источником ЭДС 2 u ₁₂ свнутренним активным сопротивлением равным волновому R ₁= Z ₁, подключенному к сопротивлению нагрузки линии Z _Н. Ключ К замыкается в момент прихода падающей волны в точку 2. Следует заметить, что схема Петерсена строится только для одной узловой точки и не позволяет определять напряжения в других точках рассматриваемой ЛЭП.

Если в точке 2 сопряжения двух бесконечно длинных линий включена ёмкость С (рис. 1.1.4, а), то для определения напряжения u ₂при приходе по линии 1-2 волны u ₁₂ с прямоугольным фронтом и амплитудой U ₀можно воспользоваться схемой замещения, приведенной на рис. 1.1.4, б. В этой схеме ключ замыкается в момент прихода в точку 2 волны u ₁₂. В результате в схеме развивается такой же переходный процесс, как и при подключении цепи к источнику постоянной ЭДС 2 u ₁₂= 2 U ₀. Данному процессу соответствует дифференциальное уравнение первого порядка (рекомендуем его составить и решить самостоятельно).

Рис. 1.1.4. Расчётная схема (а) и схема замещения (б) при прохождении волны

с прямоугольным фронтом мимо узловой точки с включенной в ней ёмкостью

Решив это уравнение, можно найти напряжение в точке 2, которое совпадает с преломлённой в данной точке волной:

где R ₁ = Z₁; R ₂ = Z₂; T = C·R ₁· R ₂/(R ₁+ R ₂).

В соответствии с волновым методом, отражённую от точки 2 волну можно найти как разность преломлённой и падающей:

u ₂₁ = u ₂ – u ₁₂;

Таким образом, у электромагнитной волны, проходящей узел с включенной ёмкостью, уменьшается крутизна фронта из-за того, что емкость мгновенно зарядиться не может. При равенстве волновых сопротивлений сопрягаемых линий и воздействии волны большой длины напряжение в узловой точке принимает вид, представленный на рис. 1.1.5, а. При малой длине волны уменьшается и амплитуда напряжения (рис. 1.1.5, б), т. к. ёмкость не успевает полностью зарядиться.

Рис. 1.1.5. Кривые изменения напряжения в узловой точке с ёмкостью

при воздействии волны с прямоугольным фронтом u ₁₂

бесконечно длинной (а) и длиной τ (б)

На практике встречаются случаи, когда волна, распространяясь по линии, встречает короткую вставку с волновым сопротивлением Z ₀,отличным от волнового сопротивления основной линии (рис. 1.1.6). Например, две воздушные линии с волновыми сопротивлениями Z ₁и Z ₂ соединены коротким кабелем с волновым сопротивлением Z ₀. Попадая на короткую вставку, волна многократно отражается на ее концах. В результате, после прохождения вставки форма волны меняется.

Рассмотрим распространение волн в схеме (см. рис. 1.1.6) с учетом многократных отражений на концах линии 1-2 длиной l ₀.Время пробега волны по ней ₀ = l ₀ /v. В момент времени t = 0 волна u ₀₁ приходит в узел 1, где преломляется с коэффициентом и отражается с коэффициентом . Преломленная волна через время ₀ доходит до точки 2. Здесь она вновь претерпевает преломление в линию 2-3 с коэффициентом и отражение с коэффициентом . Отраженная от узла 2 волна приходит к узлу 1, где, в свою очередь, преломляется в линию 1-0 с коэффициентом и отражается обратно в линию 1-2 с коэффициентом .

Рис. 1.1.6. Иллюстрация многократных отражений волны напряжения

от концов короткой вставки с помощью характеристической сетки

Процесс многократных отражений и преломлений хорошо иллюстрирует приведенная на рис. 1.1.6 пространственно-временная диаграмма – характеристическая сетка. По горизонтальной оси диаграммы откладывается расстояние x, отсчитываемое от начала линии (точка 1), по вертикальной оси – время, и в этих координатах отображаются появляющиеся волны. Пользуясь характеристической сеткой, легко определять напряжение в любой точке линии 1-2 в необходимый момент времени t как сумму напряжений всех прямых и обратных волн, возникших к этому моменту в данной точке линии. Так, напряжение u ₂ в точке 2 определится как сумма всех преломленных в линию 2-3 волн к моменту t:

где _уст = 2 Z ₂/(Z ₁+ Z ₂); n – число преломлений в точке 2, произошедших к моменту времени t, причем .

Найти напряжение u ₁ можно, например, сложив все прямые и обратные волны, возникшие в точке 1 со стороны линии 0-1 к моменту времени t. После преобразований выражение для определения величины напряжения u ₁ примет вид:

где n – число отражений в точке 1, произошедших к моменту времени t, причем .

Характер деформации волны u ₀₁ при прохождении короткой вставки зависит от соотношения волновых сопротивлений линии 0-1, 1-2 и 2-3. Если и одного знака, то изменение во времени напряжения в точке 2 изображается ступенчатой линией (рис. 1.1.7), которую можно аппроксимировать проведенной через середины её горизонтальных участков кривой (здесь T = 2 ₀ / ln( )):

Например, если Z ₁ = Z ₂ = Z > Z ₀, то T ≈ CZ /2. Здесь С = C ₀ l ₀– полная ёмкость линии 1-2. Следовательно, напряжение в конце вставки (точка 2) изменяется подобно тому, как менялось бы напряжение в этой точке, если индуктивность линии 1-2 принять равной нулю и учитывать только её ёмкость (см. рис. 1.1.7).

Если же Z ₁ = Z ₂ = Z < Z₀, то T ≈ L/ (2Z), где L = L ₀ l ₀– полная индуктивность линии 1-2. В этом случае напряжения в начале u ₁ и конце u ₂ вставки аналогичны тем, которые появятся в этих точках, если ёмкость линии принять равной нулю и учитывать только индуктивность (графики постройте самостоятельно).

Контрольные вопросы

1. В чём сущность волнового метода анализа переходных процессов?

2. Каковы причины появления прямых и обратных волн в линиях и как определяются их величины?

3. Как определяются волновое сопротивление и скорость распространения волны вдоль линии? Каковы примерные значения этих параметров для воздушных и кабельных линий?

4. В каких случаях линию можно считать бесконечно длинной?

5. В каких случаях приходящую волну можно считать бесконечно длинной?

6. Как строится схема замещения Петерсена?

7. Как наличие ёмкости в узле влияет на изменение напряжения в этой точке?

8. Каковы причины многократных отражений волн в элементах электрических сетей? Когда наблюдаются многократные отражения? Приведите примеры. В чем сущность метода характеристической сетки?

9. Можно ли короткую вставку представить сосредоточенным параметром