Прямые, плоскости, параллельностьУже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении: две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек -- не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве: · Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной. Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности: · Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу. Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые -- если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются. На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD -- параллельны, а АВ и В?С? -- скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C?D?, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов. В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности: · Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой. · Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой(или плоскости), то они параллельны друг другу. Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости: · Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости. А вот признак параллельности плоскостей: · Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны. Часто используется и такая простая теорема: · Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу. Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А?В? параллельна плоскости АВСD(так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А?В?С?D? и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A?B? и B?С? в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA? и СС?, пересекают параллельные плоскости АВСD и A?B?C?D? по прямым АС и А?С?, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В?С и А?D. Следовательно, параллельные плоскости АВ?С и А?DC, пересекающие куб по треугольникам.
|