Изображение пространственных фигур

Есть такой афоризм «Геометрия -- это искусство правильно рассуждать на неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к изложенным выше рассуждениям, то окажется:

единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объяснении обозначений. С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нём «нечто» не только не куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды. Ведь прежде, чем «рассуждать» -- излагать готовое доказательство, надо его придумать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж может стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.

Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким, каким мы его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или центральной проекции.

При центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а произвольная точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямолинейное расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в пересекающиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы. Изучение её свойств привело к появлению важного раздела геометрии (см. статью «Проективная геометрия»).

Но в геометрических чертежах используется другая проекция. Можно сказать, что она получается из центральной когда центр О удаляется в бесконечность и прямые ОХ становятся параллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х прямую, параллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7).

Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии -- это прямая линия или (в исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины и изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свойства параллельной проекции:

· Если АВ =k CD, а A?,B?,C? и D?- проекции точек A,B,C и D, то A?B?= k C?D?.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство -- совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек пространства.

В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника, может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника ЛВС любую плоскость а, построим в ней треугольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на б вдоль прямой l = СС? (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный прямоугольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращается в любой параллелограмм. Более того, можно доказать, что изображением любой данной треугольной пирамиды могут быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём, например, отношения, в которых треугольное сечение A?BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В?С?. Посмотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ?, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА?С?С. Понятно,чтопроекцией будет сам прямоугольник АА?С?С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;

рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а точки Р и Q станут серединами отрезковА1)и ВiCi. Очевидно, что на нашем рисунке A?Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1: 3. В силу основного свойства параллельной проекции,эторавенство верно и в пространстве. Та же проекция позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка,накоторые он рассекается плоскостью A?BD: в частности, отрезок KQ, где К -- середина АВ. вновь делится ею в отношении 1: 3, а диагональ АС, -- в отношении 1:2.

Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов АОВ, ВОСк СОАточки Р, Q и R.

Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б; кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость ОАВ; получаем точки R? и Q?. Плоскость искомого сечения пересекает плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.