Перпендикулярность. Углы. Расстояния

стереометрия прямая плоскость пространство

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р, то говорят, что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА? нашего куба перпендикулярно основанию АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА? составляет прямые углы с двумя из них - АВ и АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

· Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:

· Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):

· Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда, когда её проекция а? на плоскость перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому, что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.

Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC? на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх перпендикулярах, и сама диагональ АС? перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС? и А?В. Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна «треугольному сечению» A?BD.

В стереометрии помимо обычных плоских углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами, проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.

Найдём, например, угол между диагоналями А?В и В?С граней нашего куба (рис. 14). Заменим прямую В?С на параллельную ей диагональ A?D противоположной грани; искомый угол равен углу BA?D, т. е. 60° (треугольник BA?D равносторонний). Угол между диагональю АС? и основанием куба равен углу САС? между прл* мой ас? и её проекцией АС на основание, т.е. arctg (C?C/AC) = arctg (1/v2]. А угол между плоскостями BDA? и BDC? (рис. 14) равен углу А?МС?, где М -- середина BD, так как прямые МА? и МС? лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, -- он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость б, параллельную прямой b(рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b? прямой b на б и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны.те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и: прямоугольник размером а * аv2 (проекция на диагональную плоскость АСС?А? или, что то же, вдоль диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной аv2/3 (проекция вдоль диагонали куба АС?; мы видели, что прямая АС? перпендикулярна плоскости BDA?, а потому правильный треугольник BDA, со стороной аv2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между плоскостями BDA? и BDC? -- он равен углу между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В?С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В?С (В и B?C -- изображения первой и второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти, что r= а/v3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС? Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС? превращается в точку: расстояние от последней -- центра шестиугольника -- до BD равно половине стороны шестиугольника,

т. е. а/v6.

Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её проекции и угол между плоскостями:

· Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади S многоугольника, умноженной на cos ц, где ц- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:

Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные фигуры многоугольниками, получим, что формула площади проекции справедлива и для них.