Абсолютные и средние показатели вариации

Для характеристики совокупностей и исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним.

Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей.

Размах колебаний (размах вариации) – это разность между наибольшим () и наименьшим () значениями вариантов .

Среднее линейное отклонение вычисляется по следующим формулам:

- для несгруппированных данных

- для сгруппированных данных (вариационного ряда)

Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается и рассчитывается по следующим формулам:

– дисперсия невзвешенная (простая);

– дисперсия взвешенная.

Дисперсию удобнее рассчитывать по формуле: , где – среднее квадрата, – квадрат средней.

Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако её применение как меры вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. В таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднеквадратическое отклонение.

Среднеквадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S:

Среднеквадратическое отклонение – это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности.

Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Среднеквадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднеквадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность. Вычислению среднеквадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

Основные свойства дисперсии.

- Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет;

- Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет;

- Уменьшение или увеличение каждого значения признака в раз соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднеквадратическое отклонение – в раз;

- Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной: . Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству: , т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.

Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.