Устойчивость непрерывных систем управления

 

Задание 1.

1.1. Получение характеристического полинома

Дана структурная схема системы управления.

Передаточные функции её элементов:

Передаточная функция всей системы (с учетом обратной связи) имеет вид:

Подставив значения функций, получим:

Из передаточной функции мы получаем собственный оператор:

Q (λ;) – характеристический полином; он получается из собственного оператора системы подстановкой р = λ. В данном случае:

1.2. Проверка устойчивости.

Составляем определитель Гурвица порядка n = 3:

 

Главные миноры определителя:

 

Включая сам .

Критерий Гурвица: для того, чтобы СУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определители Гурвица, составленные из коэффициентов ее характеристического уравнения при а ₀ > 0, были больше нуля:

а ₀ > 0, Δ₁ > 0, Δ₂ > 0, …, Δ _n > 0.

 

1.3. Значения параметров системы управления:

1.4. Результаты расчета и вывод относительно устойчивости системы.

Критерий Гурвица выполняется:

а ₀ = 0,5 > 0, Δ₁ = 1,36 > 0, Δ₂ = 6,984 > 0, Δ _n = 5,02848 > 0.

 

Следовательно, система устойчива.

 

Задание 2.

 

2.1. Получение характеристического полинома

Передаточные функции элементов системы:

Подставив значения функций, получим:

Из передаточной функции мы получаем собственный оператор:

Q (λ;) – характеристический полином; он получается из собственного оператора системы подстановкой р = λ. В данном случае:

2.2. Проверка на робастную устойчивость системы

 

Дана область

По условию,

Т.к. n = 3, достаточно выполнения необходимого условия

() и устойчивости полинома Q ₁ (λ;).

 

Вычисляем определитель Гурвица:

Выполняются оба условия, следовательно система обладает робастной устойчивостью на данной области (k,T).

Графическое изображение области устойчивости: