II способ.

РАЗДЕЛ 2

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия и теоремы

Постановка задачи. Требуется найти значения х ₁, х ₂, …, х_n удовлетворяющие следующим соотношением: здесь a_ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) и b_k (k = 1, 2, …, m) – заданные числа.

При этом ; ;

Используя эти обозначения, можно систему записать в матричной форме: Ах = b.

Если b ₁ = b ₂ = ¼= b_m = 0, то система уравнений называется однородной. Если хотя бы одно из b_k (k = 1, 2, ¼, m) отлично от нуля, то система называется неоднородной.

.

Матрица называется расширенной матрицей системы.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

При этом система, имеющая единственное решение называется определенной, а более одного решения – неопределенной.

Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

При решении систем линейных уравнений предстоит ответить на три вопроса:

А. Совместна ли система?

В. Определена ли система?

С. Как найти решение (или решения) системы.

Правило Крамера. Если система уравнений невырождена (т.е. det A ¹ 0), то система определена, т.е. имеет единственное решение, и ее решение может быть найдено по формулам Крамера: (k = 1, 2, …, n) где D _k – определитель матрицы, которая получится, если в матрице А системы k -й столбец заменить на столбец свободных членов.

Ранг матрицы. С решением систем непосредственно связано понятие ранга матрицы. Ранг матрицы – это наивысшей порядок ее минора, отличного от нуля.

При нахождении ранга матрицы важно ориентироваться в том, какие преобразования с матрицей можно делать, не изменяя при этом ее ранг:

1°. транспонирование;

2°. перестановка двух строк (столбцов);

3°. умножение всех элементов строки (или столбца) на число с ¹ 0;

4°. прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих

элементов другой строки (столбца);

5°. выбрасывание нулевой строки (столбца);

6°. вычеркивание строки (столбца), являющейся линейной комбинацией

остальных строк (столбцов).

Однородные системы. Рассматривается однородная система линейных уравнений с n неизвестными: Ах = 0.

Если rang A = n (det A ¹ 0), то система определена и имеет только тривиальное решение: x ₁ = x ₂ = … = x_n = 0.

Если rang A < n (det A = 0), то система имеет и не тривиальные решения. При этом все решения однородной системы уравнений образуют линейное пространство L и dim L = n – rang A.

Чтобы найти базис пространства решений однородной системы уравнений поступают так:

1. Находят базисный минор матрицы А;

2. Если строка не входит в базисный минор, то соответствующие ей уравнение является линейной комбинацией остальных уравнений и его можно выбросить.

3. Если столбец не входит в базисный минор, то неизвестная с соответствующим номером назначается свободной. Всего найдется (n – rang A) свободных неизвестных.

4. Пусть свободные неизвестные х_{r +1}, х_{r +2}, …, х_n. Если дать свободным неизвестным произвольные значения, то получим систему относительно х_{r +1}, х_{r +2}, …, х_n у которой определитель не равен нулю и, следовательно, система имеет единственное решение.

5. Дадим свободным неизвестным значения (1, 0, 0, 0, …, 0), затем (0, 1, 0, 0, …, 0) и т.д. Решая, получившиеся системы, получим соответственно векторы . Эти векторы и образуют базис пространства L решений однородной системы линейных уравнений.

6. Общее решение линейной системы однородных уравнений в этом случае есть линейная комбинация базисных векторов:

.

Неоднородные системы. Теорема Кронекера – Капелли: Система неоднородных линейных уравнений Ах = b совместна тогда и только тогда, когда rang A = rang Ã.

При этом, если rang A = rang à = n, то система имеет единственное решение, и оно может быть найдено по правилу Крамера.

Если rang A = rang à < n, то система имеет бесконечно много решений, которые образуют линейное многообразие. При этом, сдвигаемое подпространство – это пространство L решений однородной системы уравнений и его базис может быть построен, как уже было указано выше. Вектор сдвига – это частное решение неоднородной системы уравнений и он может быть найден, если в неоднородной системе свободные неизвестные положить равными некоторым произвольным значениям (например, нулевым).

Общее решение неоднородной системы – есть общее решение соответствующей однородной системы плюс некоторое частное решение неоднородной системы.

Последнее утверждение можно записать через аббревиатуры соответствующих терминов: О.Р.Н.С. = О.Р.О.С. + Ч.Р.Н.С.

Обратная матрица. Запишем систему в матричном виде Ах = b. Если det A ¹ 0 (такая матрица А называется невырожденной), то для матрицы А существует матрица А ^–1 такая, что А ^–1 А = АА ^–1 = Е и тогда решение системы может быть записано в виде: А ^–1 Ах = А ^–1 b Þ х = А ^–1 b.

Таким образом, в случае существования обратной матрицы А ^–1решение системы пишется в виде х = А ^–1 b.

Как же найти обратную матрицу А ^–1 к невырожденной матрице А?

I способ.

1) Составим матрицу А_ik из алгебраических дополнений к элементам а_ik матрицы А;

2) Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений;

3) Каждый элемент получившейся матрицы делим на det A.

Получившаяся матрица – А ^–1.

II способ.

1) Запишем матрицу А, а справа от нее, через вертикальную черту, запишем единичную матрицу. Получим матрицу n – строк, 2 n – столбцов;

2) В получившейся матрице с помощью применения к строкам (и только) преобразований не изменяющих ранг матрицы образуем на месте матрицы А – единичную матрицу.

На месте единичной матрицы стоит А ^–1.

III способ. Справа от матрицы припишем единичную матрицу Е, а снизу припишем матрицу (– Е). В правом нижнем углу поставим нулевую матрицу. Используя операции только над строками, получившейся матрицы, на месте матрицы (– Е), образуем нулевую матрицу. Тогда, в правом нижнем углу будет стоять А ^–1.

IV способ. Для обращения матрицы, имеющей блочную структуру, т.е. матрицы вида: , где А – квадратная матрица порядка n ´ n, а D – квадратная матрица q ´ q, справедливы следующие формулы:

1. Первая формула Фробениуса (если det A ¹ 0):

, где H = D – CA ^–1 B.

2. Вторая формула Фробениуса (если det D ¹ 0):

, где K = A – BD ^–1 C.

 

Контрольные вопросы и задания

 

1. Что такое ранг матрицы и ее базисный минор? Определяются ли они однозначно?

2. Найти ранг и все базисные миноры матрицы: .

3. Как связаны ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее строк.

4. Чему равна размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, если в системе: 10 уравнений, 16 неизвестных и ранг матрицы системы равен 6?

5. Образует ли множество решений неоднородной системы линейное пространство? Какое из свойств линейного пространства не выполнено?

6. Вспомните определение линейного многообразия. Что называется его базисом и размерностью?

7. Как определяется вектор сдвига для линейного многообразия, являющегося множеством решений неоднородной системы?