Студопедия — Примеры решения задач. Задача 1. Найти ранг матрицы .
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения задач. Задача 1. Найти ранг матрицы .






Задача 1. Найти ранг матрицы .

Решение. Прежде всего, отметим, что четвертая строка матрицы есть сумма второй и третьей строк и поэтому при отбрасывании этой строки ранг матрицы не изменится.

1. Отбросим четвертую строку;

2. Из второй и третьей строк матрицы вычтем первую строку, умноженную, соответственно, на 2 и 3;

3. В полученной матрице из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 2.

Получим цепочку преобразований:

.

В полученной матрице, минор, стоящий в первых, трех столбцах отличен от нуля. Следовательно, ранг исходной матрицы равен трем и минор 3го порядка, стоящий в первых, трех столбцах есть базисный минор матрицы А.

Задача 2. Найти матрицу обратную к матрице .

Решение. Пусть обратная матрица имеет вид: . Тогда, по определению: АА –1 = Е, т.е. .

Перемножая матрицы, получим равенства:

,

из этих соотношений получаем: g = 0, d = 0, a = 1; далее: h = 0, e =1, b = –3. И наконец: m = 1, f = –2, c = 11. В итоге приходим к выводу, что:

.

Задача 3. Найти матрицу обратную к матрице .

Решение. Построим матрицу 6 ´ 6 приписав справа от А единичную матрицу Е, а внизу матрицу (– Е), остальные места заполним нулями.

.

С помощью операций над строками матрицы А ¢ образуем на месте (– Е) нулевую матрицу. Тогда в правом нижнем углу будет стоять матрица А –1.

1. Ко всем строкам матрицы А –1 прибавим третью строку с некоторым множителем, добиваясь того, чтобы все элементы первого столбца, кроме а 31, равнялись нулю.

2. Первую строку полученной матрицы разделим на (–3) и, прибавляя к остальным строкам матрицы полученную первую строку с некоторыми множителями, добьемся того, чтобы во втором столбце стояли нули, кроме элемента а 12.

3. С помощью второй строки образуем нули в третьем столбце, кроме элемента а 23.

Получим цепочку преобразований:

Отсюда заключаем, что .

Задача 4. Найти матрицу обратную к .

Решение. Для обращения матрицы применим первую формулу Фробениуса. Полагаем: , , , .

Находим последовательно:

;

;

;

.

И тогда . Привлекательность указанного способа состоит в том, что для обращения матрицы 4го порядка мы имеем дело с обращением матриц лишь 2го порядка, что существенно проще.

Задача 5. С помощью правила Крамера решить систему линейных неоднородных уравнений: .

Решение. Главная матрица системы имеет вид: .

Так как det A = D = 18 ¹ 0, то решение системы может быть найдено по правилу Крамера. Для этого составим определители D х, D у, D z, которые отличаются от главного определителя тем, что в нем столбец коэффициентов при х, у и z соответственно, заменен на столбец свободных членов, т.е.:

.

Вычисляя их, находим, что D х = 18, D у = 36, D z = 54.

И тогда .

Задача 6. Решить систему линейных однородных уравнений:

.

Решение. Прежде всего, отметим, что система наверняка совместна, ибо однородная система всегда имеет по меньшей мере нулевое решение.

Займемся нахождением общего решения данной системы. Главная матрица системы имеет вид: .

Найдем ранг матрицы А. Первую строку матрицы с соответствующими множителями прибавим к остальным строкам матрицы так, чтобы первый столбец обратился в ноль, кроме элемента а 11. Получится матрица А 1 такая, что rang A 1 = rang A и . Отмечая, что третья и четвертая строка матрицы пропорциональны второй строке, заключаем, что rang A 1 = rang A 2, где , умножим вторую строку матрицы А 2 на (–2) и прибавим к первой строке. Получим матрицу А3: , такую что rang A 3 = rang A 2 = 2. В итоге rang A = rang A 3 = 2.

Тогда получилась система двух уравнений, из которых можно написать:

х 1 = 14 х 3 – 7 х 4 + 3 х 5х 6, х 2 = –7 х 3 + 2 х 4х 5 – 2 х 6 и переменные х 3, х 4, х 5, х 6 – любые. Это и есть решение системы.

Однако, можно (и должно) пойти дальше. Множество решений линейной однородной системы образует линейное пространство L размерности dim L = n – rang A = 6 – 2 = 4. Для нахождения базисных векторов пространства решений дадим свободным неизвестным х 3, х 4, х 5, х 6 значения: а) 1, 0, 0, 0; б) 0, 1, 0, 0; в) 0, 0, 1, 0; г) 0, 0, 0, 1. Получим четыре вектора, образующие базис L: е 1 = (14, –7, 1, 0, 0, 0); е 2 = (–7, 2, 0, 1, 0, 0); е 3 = (3, –1, 0, 0, 1, 0); е 4 = (–1, –2, 0, 0, 0, 1). Таким образом: L = ℒ(е 1, е 2, е 3, е 4) и любое решение исходной системы может быть записано в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. в виде: с 1(14, – 7, 1, 0, 0, 0) + с 2(– 7, 2, 0, 1, 0, 0) + + с 3(3, –1, 0, 0, 1, 0) + с 4(–1, –2, 0, 0, 0, 1), где с 1, с 2, с 3, с 4 – любые значения. Это и есть общее решение исходной линейной однородной системы уравнений.

Задача 7. Решить систему линейных неоднородных уравнений

.

Решение. Расширенная матрица системы уравнений имеет вид: , причем, до вертикальной черты, записана матрица системы, а после вертикальной черты – столбец свободных членов. Преобразовывая матрицу , аналогично тому, как преобразовывалась матрица А в решении предыдущей задачи, получим матрицу А 1, такую, что rang = rang A 1 = 2 и . Отсюда можно написать общее решение системы в виде: х 1 = 1 + 14 х 3 – 7 х 4 – 3 х 5, х 2 = 2 ­– 7 х 3 + 2 х 4 х 5, где х 3, х 4, х 5 – любые.

Это и есть общее решение исходной системы уравнений. Однако, с целью прояснить алгебраическую структуру решения системы, мы отметим следующее:

Так как rang = rang A 1 = 2 < n = 5, то множество решений системы представляет собой линейное многообразие. Вектором сдвига этого линейного многообразия является частное решение неоднородной системы уравнений, для нахождения которого дадим свободным неизвестным х 3, х 4, х 5 произвольные значения (например, нули) и получим: f = (1, 2, 0, 0, 0). Сдвигаемым подпространством является пространство решений однородной системы с матрицей А 2, которая совпадает с главной матрицей исходной системы неоднородных уравнений: .

Отсюда: х 1 = 14 х 3 – 7 х 4 – 3 х 5, х 2 = ­– 7 х 3 + 2 х 4 х 5, где х 3, х 4, х 5 – любые. Давая свободным переменным х 3, х 4, х 5 значения: а) 1, 0, 0; б) 0,1,0; в) 0, 0, 1 получим, соответственно, базисные векторы пространства L решений однородной системы уравнений:

е 1 = (14, –7, 1, 0, 0), е 2 = (–7, 2, 0, 1, 0), е 3 = (–3, –1, 0, 0, 1).

Тогда решения исходной системы образуют линейное многообразие М:

M = { x ½ x = f + c 1 e 1 + c2e2 + c 3 e 3}, где с 1, с 2, с 3 – любые.

Итак, любое решение неоднородной системы уравнений представимо в виде:

(1, 2, 0, 0, 0) + с 1(14, –7, 1, 0, 0) + с 2(–7, 2, 0, 1, 0) + с 3(­3, –1, 0, 0, 1).

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 467. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

В эволюции растений и животных. Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений. Оборудование: гербарные растения, чучела хордовых (рыб, земноводных, птиц, пресмыкающихся, млекопитающих), коллекции насекомых, влажные препараты паразитических червей, мох, хвощ, папоротник...

Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка...

Выработка навыка зеркального письма (динамический стереотип) Цель работы: Проследить особенности образования любого навыка (динамического стереотипа) на примере выработки навыка зеркального письма...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Интуитивное мышление Мышление — это пси­хический процесс, обеспечивающий познание сущности предме­тов и явлений и самого субъекта...

Объект, субъект, предмет, цели и задачи управления персоналом Социальная система организации делится на две основные подсистемы: управляющую и управляемую...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия