УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ. ob.show(); // вызов функции show()

ob.show(); // вызов функции show ()

system("pause"); // задержка экрана

return 0;

}

// Пример 3. Определение класса для работы с

// динамическим символьным массивом

#include <iostream>

#include <cstring>

using namespace std;

class Stroka {

char* str;

int len;

public:

Stroka (char* s);

~Stroka();

void show();

};

Stroka::Stroka(char* s){

len = strlen(s);

str=new char[len+1];

strcpy(str, s);

str[0] = 'x';

}

Stroka::~Stroka(){

delete [] str;

}

void Stroka::show(){

cout<<"show str== "<<str<<endl;

cout<<"show len== "<<len<<endl;

}

int main() {

int n = 10;

char *s = new char[n];

cout<<"vvedi stroku: "; gets(s);

// strcpy(s, "1234566");

Stroka ob(s);

ob.show();

cout<<"v main s== "<<s<<endl;

delete [] s;

system("pause"); return 0;

}

УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 1 (об односторонних пределах монотонной функции). Если функция f(x) монотонна и определена в некоторой окрествности U(x₀,δ) точки x₀, то

1^о. , при f(x) — неубывающей;

2^о. , при f(x) — невозрастающей.

► Доказательство проведём для неубывающей функции. Т. к. f(x) — неубывающая (по условию Т.) в U(x₀,δ), то выполняется неравенство f(x)≤ f(x₀) Þмножество М= { x| x≤ x_0, } ограничено сверху числом f (x₀). По Т. о существ-нии верхней грани $ a^* = sup M. По определению верхней грани " х Î U(x₀,δ) и x≤ x₀ Þ

a^* ≤ f(x₀) (1)

По свойству верхней грани "ε>0 $ x ₁Î U(x₀,δ) и x ₁< x₀, такой, что a^* – ε< f(x ₁ ) ≤ a^* <a^* + ε. Т.к. f(x) — неубывающая(по условию), то последнее неравенство выполняется " x, удовлетворяющих неравенству x ₀ > x > x ₁. Т.обр., показали, что "ε>0 $ δ₁= x ₁– x₀ >0 | " x Î U(x₀,δ₁) Ç D (f) (а значит –δ₁< x – x₀ <0, что выполняется неравенство

a^* – ε< f(x) <a^* + ε Þ | f(x) – a^* | < ε, а значит

(2)

(с учетом неравенства (1)). Аналагично даказывается, что

, (3)

где а_* = sup{ x| x≥ x_0, }. Объединяя (2) и (3), получаем утверждение теоремы.

Доказать самостоятельно для невозрастающей функции.◄

Следствие из Т.1. Если монотонная функция f (х) имеет разрыв в точке x₀, то x₀ — точка разрыва перого рода.

Теорема 2 (неабходимое и дастаточное условие непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная функция f(x), определенная на промежутке ХÌD(f) была непрерывной, неабходимо и дастаточно, чтобы множество её значений на этом промежутке множество Y={f(x)| xÎX} также являлось промежутком.

Необходимость. Дано: f(x) –монотонная, непрерывная функцияна промежутке Х.

Доказать: Y – промежуток.

► Доказательство проведём для неубывающей функции. Обозначим через m =inf Y, M =sup Y. Ранее мы договорились считать m = – ¥, если Y – неограниченное снизу множество и M = + ¥, если Y – неограниченное сверху множество. Возьмём любое число l, удовлетворяющего неравенству m < l < M. По 2 свойству верхней (нижней) грани

$ x _1, x ₂Î Х, (причём x ₁ < x₂ т.к. по условию f(x) –неубывающая), такие, что

m ≤ f(x ₁ ) <l< f(x ₂ ) ≤ M.

По условию теоремы f(x) – непрерывная функцияна промежутке Х, а значит и на отрезке [ x _1, x ₂]Ì X Þ по теореме §, что $ с Î[ x _1, x ₂]Ì X, такая что f (c)= l. Т. обр. показали, что для любого числа l, удовлетворяющего неравенству m < l < M $ сÎX, в которой f (c)= l Þ Y – промежуток. ◄

Дастаточность. Дано: f(x) –монотонная функцияна промежутке Х.

Y={f(x)| xÎX} — промежуток.

Доказать: f(x) —непрерывная функцияна промежутке Х.

► Доказательство проведём для неубывающей функции методом от противного. Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке x₀ Î Х. На основании следствия из Т.1Þ x₀ – точка разрыва первого рода, т. е., что . Пусть для определённости , тогда по Т.1 . Рассмотрим число γ, такое, что . Тогда " x < x₀, x ÎX выполняется неравенство

(4)

а " x > x₀, x ÎX

(5)

Объединим (4) и (5), получим что " x ÎX f(x)≠γ, но γÎ Y Þ Y не является промежутком (противоречие).

Доказать самостоятельно для невозрастающей функции.◄