Алгоритм уменьшения ошибки

Рассмотрим алгоритмы решения нелинейного интегрального уравнения Френеля, предназначенного для расчета фазовых оптических элементов, формирующих произвольное заданное распределение интенсивности когерентного монохроматического света в некоторой плоскости, перпендикулярной оптической оси. Такие алгоритмы являются адаптивными, т.к. новая оценка искомой функции на каждой итерации выбирается не только в соответствии с требуемой функцией интенсивности, но и в зависимости от предыдущей оценки.

В скалярной теории дифракции комплексная амплитуда волны в плоскости оптического элемента связана с комплексной амплитудой волны в плоскости формирования требуемого распределения интенсивности через интегральное преобразование:

, (2.1)

где

(2.2)

- функция импульсного отклика свободного пространства в приближении Френеля, z – расстояние между ДОЭ и плоскостью наблюдения.

В уравнении (2.1) комплексная амплитуда в приближении тонкого оптического элемента (приближение транспаранта), которое не учитывает рефракцию лучей, равна произведению комплексной амплитуды на собственную функцию пропускания ДОЭ: .

Поскольку рассматриваются только фазовые оптические элементы, функция пропускания ДОЭ выбрана в виде , где – заданная фаза ДОЭ. Задачу расчета фазовой функции ДОЭ можно свести к решению нелинейного интегрального уравнения

, (2.3)

где - заданная интенсивность в области изображения, - амплитуда освещающего пучка, , - фаза освещающего пучка.

Итеративный метод расчета фазы , а также фазы , состоит в решении уравнения (2.3) методом последовательных приближений. Алгоритм Герчберга-Сесктона (ГС), или алгоритм уменьшения ошибки, содержит следующие шаги:

1) выбирается начальная оценка фазы

2) осуществляется интегральное преобразование функции при помощи уравнения (2.1)

3) результирующая комплексная амплитуда в плоскости формирования изображения заменяется на по правилу

, где ; (2.4)

4) вычисляется преобразование, обратное (2.1) относительно функции

; (2.5)

5) полученная комплексная амплитуда в плоскости ДОЭ заменяется на по правилу

(2.6)

где Q – форма апертуры ДОЭ;

6) переход к шагу 2.

Эта процедура повторяется до тех пор, пока ошибки – и – не перестанут значительно меняться:

, (2.7)

. (2.8)

Алгоритм ГС называют алгоритмом уменьшения ошибки потому, что было показано, что ошибки (2.7) и (2.8) с ростом числа итераций не возрастают. Однако, процесс сходимости алгоритма ГС конечен – в ходе начальных итераций ошибка быстро уменьшается, а все последующие итерации не приводят к ее заметному уменьшению.