ЗАДАЧА 1. Построение линии пересечения двух линейчатых поверхностей способом пучка плоскостейПри нахождении линии пересечения двух линейчатых поверхностей посредник должен пересекать данные поверхности по образующим – прямым линиям. Так, для конической поверхности удобно брать в качестве посредника плоскость общего положения, проходящую через её вершину, а для цилиндрической – плоскость параллельную образующим. Выбранные таким образом вспомогательные плоскости пересекают коническую и цилиндрическую поверхности по образующим – прямым линиям (рис. 2).
Рис. 2 При пересечении двух конических поверхностей вспомогательные плоскости (посредники) выбираются проходящими через прямую, соединяющую их вершины (рис. 3).
Рис. 3 При пересечении конической поверхности с цилиндрической вспомогательные плоскости проводят через вершину конической поверхности параллельно образующим цилиндрической поверхности (рис. 4).
Рис. 4 При пересечении двух цилиндров вспомогательные плоскости параллельны образующим цилиндров (рис. 5).
Рис. 5 В общем случае каждая вспомогательная плоскость пересекает каждую поверхность по двум образующим и дает возможность определить четыре точки, принадлежащие линии пересечения. Построение линии пересечения следует начинать с нахождения опорных точек, принадлежащих очерковым образующим заданных поверхностей. Рассмотрим пример 1 - пример пересечения двух конических поверхностей. Основания данных конусов принадлежат одной плоскости – горизонтальной плоскости проекций. Проводим прямую через вершины S1 и S2, и находим ее горизонтальный след – точку D. Все плоскости-посредники будут проходить через прямую ( S1 S2), а их горизонтальные следы будут проходить через точку D. Через точку D в плоскости Н проводим два горизонтальных следа IH и IIH плоскостей-посредников, которые касаются одного основания конуса и пересекают основание другого. Это следы плоскостей-посредников, которые занимают крайнее положение. Каждая из них касается одного конуса и пересекает другой. Горизонтальные следы других посредников выбираем между следами IH и IIH. След IH касается основания первого конуса в точке C и пересекает основание второго конуса в точках C1 и C2. Через точки C, C1 и C2 проводим образующие. Определяем точки пересечения этих образующих – точки 1, 2. След IIH касается основания второго конуса в точке F и пересекает основание первого конуса в точках F1 и F2. Через полученные точки проводим образующие FS2 , F1S2 и F2S1. Определяем горизонтальные проекции точек их пересечения – точки 3, 4. Находим фронтальные проекции точек 1, 2,3, 4, построив фронтальные проекции образующих первого конуса которым они принадлежат (рис. 6).
Рис. 6
Найдём характерные (опорные) точки линии пересечения поверхностей, которые принадлежат очерковым образующим конуса. Проводим горизонтальный след посредника IIIH через точку Е. Плоскость-посредник III пересекает второй конус по фронтальной очерковой образующей ES2. След пересекает основания конусов в точках Е, Е1, Е2, Е3 . Проводим через них образующие, которые пересекаются в точках 5, 6, 7 и 8. Определяем фронтальные проекции этих точек, построив фронтальные проекции образующих E2S1 и E3S1. Точки 5 и 6 являются опорными (рис.7).
Рис. 7
Рассмотрим посредник, проходящий через горизонтальную очерковую образующую конуса S1A. След этой плоскости IV H - DA пересекает основания конусов в точках А, А1, А2, А3. Через них проводим соответствующие образующие, которые пересекаются в точках 9, 10, 11, 12. Следующая плоскость-посредник проходит через очерковую образующую S1В. Её след IVH пересекает основания конусов в точках В, В1, В2, В3. Образующие, проведённые через эти точки, пересекаются в точках 13, 14, 15 и 16. Точки 9, 10, 13, 16 являются опорными (рис. 8).
Рис. 8
На рисунке 9 показано построение линии пересечения рассмотренного выше первого примера.
Рис. 9
На рисунке 10 показаны фрагменты двух конусов с полученными вырезами. Внутренняя часть поверхностей заштрихована.
Рис. 10
Рассмотрим пример 2 - пример пересечения конической и цилиндрической поверхностей. Основания конуса и цилиндра принадлежат одной плоскости – горизонтальной плоскости проекций. Проводим прямую через вершину конуса S параллельно образующим цилиндра. Определяем горизонтальный след этой прямой – точку D. Все плоскости-посредники будут проходить через прямую SD, а их горизонтальные следы будут проходить через точку D. Через точку D в плоскости Н проводим две прямые IH и IIH, которые касаются основания конуса и пересекают основание цилиндра. IH и IIH – это горизонтальные следы плоскостей-посредников, которые занимают крайнее положение, они касаются поверхности конуса и пересекают цилиндр. След IH касается основания конуса в точке А и пересекает основание цилиндра в точках А1 и А2. Проводим образующие поверхностей через данные точки. Определяем точки пересечения образующих – это точки 1, 2. Находим фронтальные проекции этих точек, построив фронтальную проекцию образующей AS. След IIH касается основания конуса в точке B и пересекает основание цилиндра в точках B1 и B2. Через полученные точки проводим образующие конуса и цилиндра. Определяем точки их пересечения – точки 3, 4. Находим фронтальные проекции этих точек, построив фронтальную проекцию образующей BS. (рис. 11).
Рис. 11 Найдём характерные (опорные) точки линии пересечения, которые принадлежат горизонтальным очерковым образующим конуса. Рассмотрим посредник III, проходящий через горизонтальную очерковую образующую конуса CS. Проводим горизонтальный след IIIH через точку C. След пересекает основание конуса в точке C1, а основание цилиндра в точках С2 , С3 . Проводим через эти точки образующие, которые пересекаются между собой в точках 5, 6, 7 и 8. Определяем и фронтальные проекции этих точек, построив фронтальные проекции образующих С1S и CS. В данном примере образующая цилиндра, проходящая через точку С2 является горизонтальной очерковой. Точки 5, 6 и 7 являются опорными. Рассмотрим посредник IV, проходящий через горизонтальную очерковую образующую ES. Горизонтальный след IVH проходит через точки E и E1 основания конуса и пересекает основание цилиндра в точках E2, E3. Проводим соответствующие образующие через данные точки и определяем точки их взаимного пересечения – 9, 10, 11, 12. Образующая цилиндра, проходящая через точку Е2 является фронтальной очерковой образующей. Таким образом, точки 9, 10, 12 являются очерковыми.(рис.12).
Рассмотрим посредники, проходящие через фронтальные очерковые образующие конуса ES и FS, и через фронтальную образующую цилиндра GG0. Горизонтальный след V H проводим через точку F, он пересекает основание конуса в точке F1 и основание цилиндра в точках F2 и F3. Через данные точки проводим соответствующие образующие, которые пересекаются между собой в точках 13, 14, 15, 16. Следующую плоскость-посредник проводим через очерковую образующую SЕ. Её след VI H пересекает основания конуса и цилиндра в точках Е, Е1, Е2, Е3. Образующие, проведённые через эти точки, пересекаются в точках 17, 18, 19, 20. Горизонтальный след VIIH проводим через точку G. Он пресекает основание цилиндра и в точке G1, а основание конуса в точках G2 и G3. Проводим через данные точки образующие поверхностей, которые между собой пересекаются в точках 21, 22, 23, 24. Точки 13, 14, 17, 18, 21, 22 являются опорными (рис. 13).
Рис. 13 На рисунке 14 показано построение линии пересечения рассмотренного выше второго примера.
Рис. 14
На рисунке 15 показаны фрагменты цилиндра и конуса с полученными вырезами. Внутренняя часть поверхностей заштрихована.
Рис. 15
Рассмотрим пример 3 - пример пересечения двух цилиндрических поверхностей. Основания двух данных цилиндрических поверхностей принадлежат горизонтальной плоскости проекций. При решении задачи плоскости-посредники выбираются параллельно образующим цилиндров. Для этого в произвольном месте построим такую плоскость. Через произвольную точку P проведем две прямые, параллельные образующим цилиндров. Определим их горизонтальные следы – N, M.
Определяем крайние положения плоскостей-посредников: их горизонтальные следы параллельны NM, касаются основания одного цилиндра и пересекают основание другой цилиндрической поверхности. След IH параллелен NM и касается основания первого цилиндра в точке А, а основание второго цилиндра он пересекает в точках А1 и А2. Через данные точки проводим образующие цилиндров. Определяем точки пересечения соответствующих образующих – 1, 2. След IIH проводим так, что он касается основания второго цилиндра (точка В) и пересекает основание первого – точки В1, В2. Образующие, проведенные через данные точки, пересекаются между собой в точках 3 и 4 (рис.16).
Рис. 16
Для определения опорных точек линии пересечения задаем посредник, проходящий через очерковую образующую цилиндра. След IIIH проводим через точку С основания второго цилиндра, лежащую на горизонтальной оси. Он пересекает это же основание в точке С3, а основание первого цилиндра – в точках С1 и С2. Через данные точки строим образующие соответствующих цилиндров. Находим точки пересечения образующих – 5, 6, 7, 8. Точки 5, 6 принадлежат фронтальной очерковой образующей второго цилиндра и являются опорными точками. Горизонтальный след следующей плоскости-посредника IV проводим через точку D основания первого цилиндра. След пересекает это же основание в точке D3 , а основание другого цилиндра – в точках D1 и D2. Проведя образующие соответствующих цилиндров через данные точки, находим точки их пересечения – 9, 10, 11, 12. Опорными точками являются точки 9 и 10. (рис. 17)
Рис. 17
Определим точки линии пересечения данных цилиндрических поверхностей, лежащих на горизонтальных очерковых образующих. След VH проводим через характерную точку Е основания первого цилиндра. Построенный след пересекает основание второго цилиндра в точках Е1 и Е2, а основание первого цилиндра и в точке Е3. Проводим через данные точки основания образующие соответствующих цилиндров и определяем точки их пересечения – 13, 14, 15, 16. Находим фронтальные проекции точек. Следующий горизонтальный след проводим параллельно NM через характерную точку F основания второго цилиндра. След VIH пересекает основания цилиндров в точках F, F3, F1, F2. Через данные точки проводим образующие цилиндров, которые пересекаются между собой в точках 17, 18, 19, 20. Находим и фронтальные проекции точек (рис. 18). Из построенных точек опорными являются 13, 14, 17,18.
Рис. 18
На рис. 19 приведён чертёж решения рассмотренной третьей задачи.
Рис. 19
На рисунке 20 показаны фрагменты двух цилиндров с полученными вырезами. Внутренняя часть поверхностей заштрихована.
Рис. 20
|
