ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Условие. Однородный каток В весом Q=4 кН и радиусом R и груз А весом Р=2 кН, соединенные гибкой нерастяжимой и невесомой нитью, помещены на шероховатую поверхность, наклоненную к горизонту под углом a=30⁰ (рис. 3.9). Нить переброшена через невесомый блок О радиусом 30 см. К свободному концу нити приложена сила F, линейно зависящая от величины перемещения s: F=9,0+0,15×s (кН). Каток катится без скольжения; коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0,1, момент сил сопротивления в подшипнике блока М=300 Н м. Определить скорость груза А, когда он переместится на величину s=3 м. В начальный момент система находилась в покое.

Рис. 3.9

Решение. Формула, выражающая теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме, имеет вид

(1)

где T, T₀ – кинетическая энергия системы соответственно в конечный и начальный моменты времени;

– суммы работ соответственно всех внешних и внутренних сил, действующих в данной системе.

В рассматриваемой задаче система состоит из катка, груза, блока и нити. Система сил, действующих на систему, включает активные силы Q, P, F, реакции связей N_A, N_B, F_сц, F_тр, R_x, R_y и момент трения в блоке M.

Найдем сумму работ всех внешних сил системы на соответствующих перемещениях точек их приложения:

Работы сил N_А и N_B равны нулю, так как направления этих сил составляют прямой угол с направлениями перемещений точек их приложения. Работа силы сцепления F_сц и работы реакций R_x и R_у равны нулю, так как эти силы приложены к неподвижным точкам. Работы сил F, Р, Q, F_тр и пары сил с моментом М определим следующим образом:

После суммирования получим

. (2)

Рассматриваемая механическая система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных идеальной нитью. Для таких систем с идеальными связями сумма работ всех внутренних сил равна нулю

. (3)

Рассчитаем кинетическую энергию системы в начальном и конечном положениях.

По условию задачи система в начальный момент находилась в покое, следовательно, ее кинетическая энергия в этот момент равна нулю T₀=0.

Кинетическая энергия груза А, движущегося поступательно, равна

,

где – масса груза А; – скорость груза.

Кинетическая энергия катка В, совершающего плоское движение, равна

,

где – масса катка В;

v_C – скорость центра масс С катка, ;

– момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс;

w_В – угловая скорость катка, .

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в нее:

(4)

Подставляя выражения (2) – (4) в формулу (1), выражающую теорему об изменении кинетической энергии системы, получим

,

откуда искомая скорость груза А, в момент, когда он переместится на расстояние 3 м, равна

 

Список литературы

Основная:

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов / 19-е изд., стер.- М.: Высш.шк., 2009.- 416 с.: ил.

2. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учебное пособие, 50-е изд., стер. / Под ред. В.А. Пальмова, Д.Р. Меркина.- СПб.: Издательство «Лань», 2010.-448 с.: ил.

 

Дополнительная:

1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах: Учеб. пособ. – М.: Политехника, 1995 – 670с.

2. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики: Учеб. для вузов. – М.: Изд-во МГУ, 1992. - 524 с.

3. Сборник задач по теоретической механике: Учеб. пособие для студентов вузов / Будник Ф.Г., Зингерман Ю.М., Зеленский Е.И.; под ре. Кельзона А.С. – Высш. шк., 1987. – 176 с.

4. Никитин Е.М. Теоретическая механика для техникумов.- 12-е изд., испр.- М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988.- 336 с.

5.Техническая механика: Учеб. для техникумов / Эрдеди А.А. и др.- 2-е изд. перераб.- М., Высш. школа, 1980.- 446 с., ил.

 

 

Задания и методические указания

к выполнению контрольных работ по дисциплине

«Теоретическая механика»

 

 

Подписано в печать. Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать плоская. Усл. печ. л. ____. Уч.- изд. л.___. Тираж____ экз. Заказ____

ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет, Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ризограф ФГАОУ ВПО РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

 

Основные понятия

Ряд, членами которого являются функции от переменной х, называется функциональным:

(2.1)

Придавая переменной х определенное значение , получим числовой ряд:

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда (2.1); если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью
сходимости. В области сходимости функционального ряда
его сумма является некоторой функцией от х: S=S (x). Определяется
она в области сходимости равенством , где – частичная сумма ряда.

^ 2.2 Степенные ряды

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. так называемый степенной ряд:

(2.2)

Действительные (или комплексные) числа называются коэффициентами ряда (2.2), – действительная переменная.

Ряд (2.2) разложен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, разложенный по степеням , т.е. ряд вида

,(2.3)

где – некоторое постоянное число.

Ряд (2.3) легко приводится к виду (2.2), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (2. 2).

Область сходимости степенного ряда (2.2) содержит по крайней мере одну точку х = 0 (ряд (2.3) сходится в точке ).

Теорема 2.1 (Абеля). Если степенной ряд (2.2) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству | х | < | |.

Следствие. Если ряд (2.2) расходится при х = , то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству | х | > | |.

Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (-| |;| ||) весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд (2.2) расходится.

Интервал (-| |;| |) называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив | |= R, интервал сходимости можно записать в виде (- R; R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. радиус сходимости – это такое положительное число R, что при всех х, для которых | |< R, ряд (2.2) абсолютно сходится, а при | |> R – расходится (рисунок 1).

Рисунок 1 – Интервал сходимости степенного ряда

 

Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при х = R и при х = -R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Радиус сходимости степенного ряда (2.2) находится по формулам

,	(2.4)
.	(2.5)

Замечания:

1) интервал сходимости степенного ряда (2.3) находят из неравенства | |< R; он имеет вид ();

2) если степенной ряд содержит не все степени х, т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы (2.4) и (2.5)), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример 9. Найти область сходимости ряда .

Решение: Воспользуемся формулой (2.4), с учетом, что , :

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример 10. Найти область сходимости ряда .

Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле (2.4).

, ;

.

Следовательно, ряд сходится при , т.е. при .

При имеем ряд

,

который сходится по признаку Лейбница (см. пример 8).

При имеем расходящийся ряд

.

Итак, областью сходимости исходного ряда является промежуток [-4; 0).

Пример 11. Найти область сходимости ряда

Решение: Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

, ,

.

Ряд абсолютно сходится, если < 1 или . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.

При имеем ряд – это тоже сходящийся лейбницевский ряд.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1; 1].