править] Свойства

• Если — линейное нормированное пространство и последовательности отображений и , равномерно сходятся на множестве , то последовательности также как и при любых также равномерно сходятся на .

• Для вещественнозначных функций (или, более обще, если — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений , равномерно сходится на множестве и ограниченное отображение, то последовательность также равномерно сходится на .

• Если — топологическое пространство, — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке отображений равномерно сходится на множестве к отображению , то это отображение также непрерывно в точке .

• Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций равномерно сходится на отрезке к функции , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого имеет место равенство
  
  и сходимость последовательности функций
  
  на отрезке к функции
  
  равномерна.

• Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке функций , сходится в некоторой точке , a последовательность их производных равномерно сходится на , то последовательность также равномерно сходится на , её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

· ВЕЙЕРШТРАССА ПРИЗНАК

· равномерной сходимости - утверждение, дающее достаточные условия равномерной сходимости ряда или последовательности функций посредством сравнения их с соответствующими числовыми рядами и последовательностями; установлен К. Вейерштрассом [1]. Если для ряда

·

· составленного из действительных или комплексных функций, определенных на нек-ром множестве Е, существует числовой сходящийся ряд

·

· такой, что

·

· то исходный ряд сходится равномерно и абсолютно на множестве Е. Напр., ряд

·

· абсолютно сходится на всей действительной оси, поскольку

·

· и ряд

· t

· СХОДИТСЯ.

· Если для последовательности действительных или комплексных функций сходящейся на множестве к функции , существует бесконечно малая числовая последовательность такая, что то данная последовательность сходится на множестве Еравномерно. Напр., последовательность

·

· равномерно на всей действительной оси сходится к функции так как

·

· В. п. равномерной сходимости переносится на функции, значения к-рых лежат в нормированных линейных пространствах.