Динамика газа в центробежном поле сил

Рассмотрим поведение газа внутри вращающегося вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью Ω цилиндра радиуса а[14]. Будем полагать, что температура газа в роторе Т=const и выходящие потоки газа из него равны нулю.

Для однокомпонентного газа условием термодинамического равновесия системы, находящейся в неоднородном поле сил u(r) должно быть дополнено условием на химический потенциал µ:

µ + u(r) = const, (1.1)

где µ = µ(p, T) – химический потенциал газа при u = 0.

Отметим, что при u=0 и T=const это условие сводится к условию постоянства в равновесии давления в объеме газа.

В случае вращающегося в цилиндре газа поле центробежных сил

,

 

и соотношение (1.1) принимает следующий вид:

, (1.2)

где M – молярная масса газа.

Для дифференциала химического потенциала имеет место следующее термодинамическое соотношение:

dµ = −sdT + V dp, (1.3)

где s и V – энтропия и объем, отнесенные к одному молю.

При температуре газа в цилиндре T=const из (1.2) и (1.3) следует:

V dp = , (1.4)

или

. (1.5)

 

Равенство (1.4, 1.5) означает, что сила, равная градиенту давления в радиальном направлении, уравновешивается центробежной силой, действующей на единичный объем массой ρ =Mp/RT. Используя уравнение состояния идеального газа p =ρ RT/M, получим:

, (1.6)

Интегрирование (1.6) дает распределение давления газа по радиусу во вращающемся цилиндре при условии постоянства температуры газа T:

p(r) = p(0) exp () = p(0) exp . (1.7)

Рис.1. Зависимость давления гексафторида урана от радиальной координаты во вращающемся с постоянной угловой скоростью

цилиндре радиуса = 0,065 м

 

Здесь p(0) – давление газа на оси цилиндра, R – универсальная газовая постоянная, A = . Константа А характеризует отношение кинетической энергии вращения газа к его тепловой энергии.

Физический смысл уравнения (1.2) и распределения (1.7) можно пояснить следующим образом. Молекулы газа под воздействием центробежной силы движутся по радиусу от оси к стенке ротора. Но хаотичное тепловое движение молекул стремится восстановить в объеме ротора равномерную плотность газа. Вследствие этого при постоянной температуре и в отсутствие других движений газа внутри ротора устанавливается термодинамическое распределение Больцмана в поле центробежных сил. Давление (и плотность газа) возрастает по радиусу от минимального значения на оси до максимального возле стенки ротора согласно известной барометрической формуле. Таким образом, условие (1.2) на химический потенциал в пространственно-неоднородном поле центробежных сил приводит к сильной экспоненциальной зависимости давления от радиальной координаты.