Консервативные силы, потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике

 

В механике есть силы, работа которых при перемещении тела по замкнутому контуру равняется нулю. Такие силы называются потенциальными, или консервативными.

Консервативной называется сила, работа которой при перемещении тела по замкнутому контуру равняется нулю.

Нетрудно показать, что консервативные силы обладают еще двумя свойствами:

1) работа консервативной силы при переходе тела из одного положения в другое не зависит от траектории движения, а определяется только начальным и конечным положениями тела;

2) при изменении направления перехода работа консервативной силы изменяет свой знак, не меняя величины A_1-2 = —A_2-1.

Опираясь на закон всемирного тяготения и закон Гука, можно доказать, что сила тяготения и упругая сила являются потенциальными.

Потенциальность этих сил связана с тем, что на одном участке замкнутой траектории силы совершают положительную работу, а на другом — отрицательную так, что в сумме получается ноль. Покажем это на примере силы тяготения, действующей у поверхности Земли. Пусть тело проходит по замкнутой прямоугольной траектории 1—2—3—4—1 (рис. 9.1).

 

Рис. 9.1. Работа силы тяжести на замкнутой траектории

 

На участке 1—2 сила тяготения мешает движению, и ее работа отрицательна: А_1-2= — mgh. На участках 2—3 и 4—1 сила тяготения перпендикулярна направлению движения, и ее работа равна нулю: A₂-₃ = A_4-1 = 0. На участке 3—4 сила тяготения помогает движению, и ее работа положительна:A₃-₄= mgh. Полная работа на всем пути получается равной нулю:

А_1-2 + A₂-₃ + A₃-₄ +A_4-1 = — mgh + mgh +0 = 0.

Не все силы являются потенциальными. Например, сила трения скольжения всегда направлена против движения тела и ее работа на всем пути — отрицательна. Сила трения не консервативна.

Работу консервативной силы удобно рассчитывать через уменьшение специальной величины — потенциальной энергии. Получим соответствующую формулу.

Пусть тело переходит из положения 1 в положение 2 (рис. 9.2). Выберем некоторую точку пространства (О) в качестве точки отсчета и рассмотрим траекторию движения, проходящую через эту точку: 1—О—2.

Рис. 9.2. Работа на траектории, проходящей через точку отсчета (О)

 

По свойству 1 работа на этой траектории такая же, как для прямого перехода 1—2: A_1-0 + А₀-₂ = А₁-₂.

По свойству 2: А₀-₂ = —A₂-₀. Поэтому выполняется равенство:

А₁-₂ = A_1-0 — A₂-₀(9.1)

Потенциальной энергией тела (E_n) называется скалярная величина, равная работе, совершаемой консервативной силой, при переходе тела из данного положения на выбранный уровень отсчета (О).

В соответствии с этим определением A_1-0 = E_n1 и А₂-₀ = Е_п2. Поэтому формулу (9.1) можно записать в следующем виде:

А₁-_{2 =} E_n1 — Е_п2 (9.2)

Таким образом, доказано, что работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.