смешанный процент
ГЛАВА II. НАРАЩЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ СУММ
Содержание:
Оценка доходности инвестиций???????
|
| 2.1. Наращение по простой ставке процентов. Ставка доходности краткосрочных финансовых операций
| | PV – англ. present value –современная ценность,
текущая стоимость.
FV – англ. future value – б удущая стоимость, конечная стоимость.
| Пусть задана исходная (современная) стоимость денегPV. При наращении простых процентов по ставке  за период – каждая следующая сумма больше предыдущей на долю от начальной суммы, т.е. на  .
Наращенную (будущую) сумму денег через  периодов обозначим  . Тогда,
| к концу 1- промежутка:
| 
| | к концу 2- промежутка:
| 
| | к концу 3- промежутка:
| 
| | …………………..
| ………………………………………………….
| | к концу n- промежутка:
| 
| Последовательность наращенных сумм:  есть арифметическая прогрессия с начальным членом  и разностью  .
Таким образом, получили формулу для вычисления наращенной сумму денег по простой ставке через периодов:
| |
|  ,
| (2.1.1)
| | I – англ. interest–
сумма процентных денег.
|   сумма процентных денег, начисленных за все процентные периоды n:
| 
| (2.1.2)
| | Формула (2.1.1) отражает смысл практических расчётов, связанных с исчислением:
Ø Суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты;
Ø Размера срочного вклада с процентами.
| |
| Пример 2.1.1.Кредит в размере 100 тыс. руб. выдан на 2 года под 10% годовых. Определите подлежащую возврату сумму, если простой процент начисляется за каждый год, а долг гасится единовременным платежом.
| |
| 
| 
| |
| Ответ: подлежащая возврату сумма составляет 120 000 руб.
| t– англ. англ. time–время.
 – англ. Year–
год.
| Но такого вида вычисления встречаются редко. Для подобных вычислений чаще пользуются формулой, отражающей принцип расчёта для случаев, когда задана годовая ставка, а срок операции выражен в днях, реже – в месяцах.
Обозначим срок операции через  . Для перевода срока финансовой операции в доли от года используют уравнивающий знаменатель , обозначающий продолжительность года, выраженную в тех же единицах, что и . Отношение  подставим вместо и получим формулу, которая наиболее часто применяется и является разновидностью Формулы (2.1.1):
| |
|  ,
| (2.1.3)
| | По вкладам и кредитам на короткий срок, обычно до года, банки, как правило, начисляют простой процент.
| где  время между покупкой и продажей актива в днях (месяцах);
 - количество дней в году (месяцах);
 цена покупки актива;
 цена продажи актива.
 сумма процентных денег, начисленных за время между покупкой и продажей актива:
|
| 
| (2.1.4)
| |
| Формула 2.1.3. используется:
Ø при определении абсолютной величины процентов и наращенной суммы в целом при обслуживании вкладов до востребования;
Ø при обслуживании текущих счетов;
Ø при расчёте суммы долга с процентами при сроке операции менее года и погашения долга единовременным платежом;
Ø при замене и консолидации краткосрочных платежей;
Ø при определении размера процентных платежей при составлении планов погашения задолженности (амортизации).
Заметим, что и в случае измерения их в днях могут быть выражены точно или приближенно (Таблица 1.2.1.).
| | Actual over
|
| Точное t
фактическое число дней за период
| Приближенное t
-число дней во всех месяцах принимается равным 30.
| |
| Точное Y
фактически дней в году 364 или 365
| Правило (ACT/ACT).
В России по такому принципу ведутся все банковские операции. Этот метод используется многими банками США и Великобритании.
|
| |
| Приближенное Y число дней в году берётся равным 360
| Правило (ACT/360). Распространено во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии, Югославии.
| Правило (30/360). Обычно используют в США, Германии, Дании, Швеции и многих других странах.
| |
| Для точного измерения  пользуются специальной таблицей порядковых номеров дней в году: из номера дня окончания операции вычитают день её начала Как правило, день выдачи и день погашения ссуды считаются за один. Таблица порядковых номеров дней в году приведена в Приложении 1.
Следует учитывать, что применение различных методов подсчёта дней и годовой базы приводят к различным результатам.
Пример.Депозит размером 100 тыс. руб. размещён под 10% годовых с 1.01. по 01.04 текущего года. Начислить проценты по всем трём правилам.
| |
| 
| 
| |
| Пример 2.1.2. Кредит в 100 тыс. руб. взят под 12% годовых 10 сентября. Кой величины достигнет сумма долга к 15 декабря.
| |
| 
| 
| |
| Ответ: сумма долга составит 103200 руб..
| |
| Ставка доходности по краткосрочным финансовым операциям
| |
| Из Формулы (2.1.2) выводится формула доходности краткосрочных финансовых операций в виде ставки простых процентов:
| |
|  ,т.е.
| |
|  ,
| (2.1.3)
| |
| где время между покупкой и продажей актива в днях (месяцах);
количество дней в году (месяцах);
цена покупки актива;
цена продажи актива.
Именно так вычисляется показатель реальной доходности инвестиции со сроком погашения до года.
| |
| Пример 2.1.2.Корпоративные облигации номиналом 10 тыс. д.е. со сроком обращения 6 месяцев продаются в день выпуска по цене 8 тыс. д.е., а через 30 дней – по цене 8,2 тыс. д. е. Определить:
1) Доходность облигаций к погашению;
2) Доходность при досрочной продаже в виде ставки простых процентов (рассматриваемые облигации относятся к ряду таких ценных бумаг, операции с которыми до срока погашения осуществляются ниже номинала).
| |
| 
| 
| |
| Ответ: доходность облигации к погашению составляет 50%, а доходность при досрочной продаже через 30 дней 30%.
| |
| Найти ставку доходности по краткосрочным финансовым операциям возможно и в том случае, если задан курс ценной бумаги, т.е.
 .
Для этого преобразуем Формулу (2.1.3) следующим образом:
 , т.е.
| |
| 
| (2.1.4)
| |
| Пример 1.10.2Курс дисконтной облигации со сроком обращения 91 день в день выпуска –75% от номинала. Оценить доходность к погашению.
| |
| 
| 
| |
| Ответ: 131% годовых.
| |
| Формула простых процентов с плавающей ставкой
| | Плавающий процент- это изменяющаяся ставка в течении срока вклада или кредита.
| В условиях нестабильной экономической конъюнктуры процентные ставки часто меняются. В этом случае общая сумма долга вычисляется по формуле простых процентов с плавающей ставкой:
|  ,
| (2.1.5)
| | Плавающие проценты – реальность нашей жизни.
| где - количество дней в году;
цена покупки актива;
цена продажи актива.
 – последовательные значения ставок;
 – число дней, в течение которых действуют соответствующие ставки.
| | Пример 1.1.2. Определите сумму на счете по состоянию на 1 апреля, если вклад сделан 1 января в размере 400 тыс. руб., процентная ставка равнялась 24 % годовых, но с 31 января введена новая ставка–36%. Капитализация процента ежеквартальная.
| |
| 
| 
| |
| Ответ: сумму на счете к 1 апреля составит 432000 руб.
| |
| Банки дают кредиты на разных условиях: и суммы разные, и процент не один и тот же, и сроки кредитов, естественно неодинаковы. Каков средний процент?
| | Средний процент –неизменная ставка процента, которая даёт то же результат финансового инструмента, что и плавающий процент.
| Выведем формулу среднего процента при использовании простых процентов: 
| |
| Таким образом,
|
| |
| 
| (2.1.6)
| |
| Средний процент носит в основном справочный характер.
| | | | | | | | | | | | | | | |
|
| 2.1.4. Наращение по сложной процентной ставке
| | Сложный процент – это «процент на процент»
|
Вопрос вычисления сложных процентов является ключевым в финансовой математике.
Так как процент, выплачиваемый по ссуде или вложенному капиталу, присоединяется к основной сумме, в результате чего проценты выплачиваются и на основную сумму, и на полученные проценты. Проиллюстрируем это на примере.
Пример вычисления сложных процентов
Исходная сумма 1000 руб., процентная ставка –10% годовых
| | Сложные проценты (Compound interest) – проценты, получаемые на инвестируемые проценты.
| Срок
| Исходная стоимость
| Проценты по основной сумме, начисленные за исходный срок
| Проценты на процент
| Конечная стоимость
| |
|
| 
| 
|
| |
|
| 
| 
|
| |
|
|
|
| 
|
| |
|
|
|
| 
| 1463,1
| |
|
Итак, при наращении по сложной процентной ставке за период – каждая следующая сумма больше предыдущей на долю от предыдущей суммы.
Пусть исходная (современная) стоимость денег PV. Наращенную (будущую) сумму денег через периодов обозначим . Тогда,
| к концу 1- периода:
|
| | к концу 2- периода::
| 
| | к концу 3- периода::
| 
| | …………………..
| ………………………………………………….
| | к концу n- периода:
| 
| Последовательность наращенных сумм:  есть геометрическая прогрессия с начальным членом и знаменателем прогрессии  .
Таким образом, получили формулу для вычисления наращенной сумму денег по сложной процентной ставке:
| |
|  ,
| (2.2.1)
| |
| где сумма долга (вклада) с процентами;
 номинальная сумма кредита (вклада);
 число периодов (лет);
 процентная ставка за период.
| | Прогадал ли индейский вождь?
| Пример.Остров Манхэттен был «куплен» в 1624 г. у индейского вождя за 24 $. Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась в 40 млрд. $. Прогадал ли индейский вождь, еслисредний процент по долгосрочным займам в XX веке в США составлял 6,3%?
| |
| 
| 
| |
| Для облегчения расчетов сложных процентов составлены таблицы мультиплицирующих множителей наращения.
Коэффициент наращения показывает, во сколько раз возрастает за периодов сумма, положенная в банк под процентов:
Величина  есть будущая стоимость одной денежной единицы через периодов при ставке процента . Таблицы таких множителей приведены в Приложении 2.
| |
| Пример Какой величины достигнет долг, равный 100 тыс. д.е., через 2 года при 12% годовых по сложной ставке.
| |
| 
| 
| |
|
При работе со сложными процентами иногда для приближенного оценивания полезно знать следующие правила.
| |
| Формулу (1.4.1) используют и в том случае, когда срок для начисления процентов являются дробным числом.
| |
|
| |
| 2.4. Исчисление процентной ставки, срока платежа и процентов за весь срок
| |
| Из Формулы (2.1.2) выводится формула доходности финансовых операции в виде ставки сложных процентов:
| 
| (2.2.2)
| |
| ПримерФинансовый инструмент размещается на срок 2 года по цене 1 000 000 д.е., а погашается по цене 1 200 000 д.е. Вычислить доходность в виде ставки сложных процентов.
| 
| 
| |
| Ответ: доходность финансового инструмента составит 9,54%.
| | RCY
–«реально накопленная доходность инвестиций»
англ.–realized compound yield
| Именно так вычисляется показатель реальной доходности инвестиции RCY. В этом случае в Формуле (2.2.2) в числителе дроби стоит наращённая сумма всех инвестиций и реинвестированных доходов от них, а в знаменателе – первоначальные вложения. Их соотношение показывает относительный рост за весь срок « » инвестиций, а извлечение корня степени «» и вычитание 1 даёт годовые проценты.
| |
| Проценты за весь срок вычисляются по формуле:
| |
| Сумма процентов за периодов по сложной процентной ставке вычисляется по формуле:
| |
| 
| (2.2.3)
| | Пример Ссуда была выдана на два года — с 1 мая 2006 года по 1 мая 2008 года. Размер ссуды — 10 000 руб. Необходимо распределить начисленные проценты (ставка 14 % АСТ/АСТ) по календарным годам.
| |
| 
| 
1 способ:
1) за период с 1 мая до конца 2006 года (244 дня):
2) За 2007 год:
3) c 1 января до 1 мая 2008 года (121 день):
2 способ:
| |
| Методы ФЭР позволяют определять необходимый срок окончания или начала финансовой операции и её протяженность, если заданы  . Для этого формула (2.2.4) решаются относительно  :
| 
| (2.2.4)
| |
| К удвоению ваших сбережений за определённый промежуток времени могут быть применены некоторые эмпирические правила. Одно из которых–«правило семидесяти двух»
| |
| Правило 72. Если процентная ставка есть , то удвоение капитала по такой ставке происходит примерно за  лет.
| |
| Это правило применяется для небольших ставок.
Пример Через сколько лет произойдёт удвоение капитала при ставке сложных процентов  .Сравнить результаты точного вычисления и вычисления по «правилу 72».
| |
| 
| 1. точное вычисление:
 года.
| |
| 2.3. Формула сложных процентов с плавающей ставкой
| |
| Формула (1.4.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. В случае, когда изменение размеров ставок фиксируется в контракте, то формула сложных процентов с плавающей ставкойимеет вид:
| |
|  ,
| (2.2.5)
| |
| где – последовательные значения ставок;
 – периоды, в течение которых действуют соответствующие ставки.
Пример У вас есть 10 000 рублей. Сейчас на рынке продаются и покупаются акции фирмы «АБВ» и фирмы «ЭЮЯ» по 1000 рублей каждая. Фирма «АБВ» обещает 10% годового дохода в первый год и 20% - во второй. Фирма «ЭЮЯ» - 15 и 10 соответственно. Какой максимальный дохода за 2 года вы можете получить, купив акции этих компаний?
| |
| 
| Очевидно что максимальный доход будет достигнут если в первый год будут куплены акции«ЭЮЯ»,а во второй «АБВ». Воспользуемся формулой сложных процентов с плавающей ставкой 
 года.
| |
| Соответственно доход составит 3800.
| |
| СРЕДНЯЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
| | Средний процент –неизменная ставка процента, которая даёт то же результат финансового инструмента, что и плавающий процент.
| 
Пример. Вычислите средний процент с 1 июля 1998 г. по 30 июня 2000 г., если капитализация процента совершалась раз в квартал, а процент годовых изменился два раза: с 25% до 21% 1 апреля 1999 г. и 1 января 2000 г. ставка процента уменьшилась на 5 процентных пунктов.Ответ: 21,2%
| |
|
|
| |
|
| |
| Начисление процентов более одного раза в год. Номинальная я процентная ставка наращения. Непрерывное наращение процентов
| | Сложный процент- это естественно!
| Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. В этом случае если годовая (номинальная) ставка равна , то проценты за один период начисляются по ставке  , а количество начислений за лет будет равно  . Общая формула для расчета  по истечении лет, при использовании годовой (номинальной) процентной ставки наращения , если проценты начисляются  раз в год, будет иметь вид:
| |
| 
| (2.2.6)
| |
| Исследуем зависимость между и частотой начисления процента, т.е. . Для этого рассмотрим пример.
Пример 1.2.1.Как изменится величина вклада в размере 1000 рублей при 200% годовых в зависимости от периода капитализации
Решение.
| | Количество капитализаций за год
| Величина вклада
| С капитализацией раз год, т. е. 
| 
| С капитализацией раз в полгода, т. е. 
| 
| С капитализацией раз в квартал, т. е. 
| 
| С ежедневной капитализацией, т. е. 
| 
| | Период капитализациипроцента – срок, в конце которого начисляется процент и сумма процента прибавляется к вкладу (причисленный процент).
| Таким образом, при непрерывном начислении процентов доход на вложенный капитал составит почти 738%-100%=638% годовых.
Вывод очевиден, чем чаще начисляются проценты, тем больше в конце года, при этом, по мере сокращения интервалов начисления, темпы роста снижаются. Пределом является при непрерывном начислении, т.е. ежедневное начисление процентов. Величина при непрерывном начислении приближённо, с хорошей степенью точности, вычисляется с помощью второго замечательного предела. Дело в том, что
Тогда при  Формула (2.2.6)преобразуется: 
Итак, формула для расчета по истечении лет, при использовании годовой (номинальной) процентной ставки наращения , если проценты начисляются непрерывно, будет иметь вид:
| 
| (2.2.6)
| |
Сложный процент восстанавливает справедливость. Переоформление вкладов ничего не приносит банкиру, кроме хлопот. Во избежание процедуры изъятия и повторного вклада обе стороны кредитной и депозитной сделки заранее договорились об использовании сложных процентов.
Чаще всего проценты начисляются раз в год, но в условиях высокой инфляции рассматриваются и другие временные сроки.
В кредитных договорах и банковских правилах это звучит примерно так:
«Ежеквартально сумма вклада увеличивается на.. процентов» или
«Проценты по вкладу капитализируются каждые три месяца», или
«Сумма процентов по вкладу прибавляется к основному вкладу раз в три месяца».
| |
| ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
| | ARP-
англ. Annual Percentage Rate
эффективная ставка процента
| В качестве эталона «финансового метра» используется эффективная ставка процента (термин принятый в США, Европе и России) или, что то же самое, ARP–годовая ставка процента.
Эффективная ставка ARP – это годовая ставка сложных процентов, которая даёт тот же результат, что и разовое начисление процентов по ставке , т.е.
 .
Решив данное уравнение относительно  и , получим:
| | «ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА
(ARP) –
есть мера действительной стоимости кредита»
из руководства МВА
| 
| (2.2.7)
| 
| (2.2.8)
| Эффективная ставка при  больше номинальной.
Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении, т.е. замена в договоре номинальной ставки при разовом начислении процентов на эффективную ставку не изменит финансовых обязательств участников сторон.
| | 3.
| Сравнение силы роста простых и сложных процентов
| |
| При одной и той же ставке  наращение сложных процентовидет быстрее, чем простых процентов, при длине периода наращения более единичного, и медленнее, если период наращения менее единичного.
Пример. Пусть сумма в 1000 ден. ед. наращивается по ставке 10% простых и сложных процентов. Тогда наращенные суммы таковы:
| при   ,
при   .
| промежутки
| I кв.
| II кв.
| III кв.
| IV кв.
| 2 год
| 3 год
| 4 год
| 5 год
| | Простые проценты
|
|
|
|
|
|
|
|
| | Сложные проценты
|
| 1048,8
| 1074,1
|
|
|
| 1464,1
| 1610,5
| | Сложный процент даёт рост «вклада» в геометрической прогрессии, а простой процент – в арифметической. При больших сроках разница может быть впечатляющей.
| Графики функций  и  , в зависимости от показаны на Рис. 1.2.
ВСТАВИТЬ РИСУНОК!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
| |
|
| |
| 1.6. СМЕШАННАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
| | Смешанный процент – это простой процент «внутри» года (или иного срока капитализации) и сложный процент по годам.
| Есть и иная форма сосуществования простого и сложного процентов – это смешанный процент. Смешанный процент начисляется при дробном числе лет (точнее периодов начисления процентов) по формуле:
|  ,
| (2.3.1)
| |
| где  – целое число лет,
 – это оставшаяся доля последнего года.
| |
| Пример.Найти во сколько увеличится сумма долга при сроке 2 года и 7 месяцев при 12% годовых.
| |
| 
| 
| |
| ПримерКредит на покупку квартиры в размере 1млн руб. выдан на 5 лет и 6 месяцев под 16,5% сложных годовых. Рассчитайте сумму долга обычным и смешанным методами.
| |
| 
| Сумма долга на конец срока обычным методом сложных процентов определяется:
в свою очередь, смешанный метод даёт:
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Эталонная эффективная ставка определяется для следующей стандартной схемы кредита: срок кредита год, весь кредит выдаётся в начале года, а погашается вместе с суммой процента в конце года. В этом случае номинальный процент и эффективная ставка процента совпадают?????
| Количество вариантов схем кредитов практически неограниченно. Как же их сравнить между собой?
Ответ очевиден: по доходности. Для этого важно научиться определять доходность некоторым стандартным способом. Этот способ получил название эффективной ставки процента.
Вычисление эффективной ставки является довольно непростой задачей.
ПримерСравнить доходность двух кредитов. Один даётся на 7 лет с условием выплаты 10% в конце каждого года в качестве платы за пользованием кредитом. Это стандартная схема множества долгосрочных кредитов. Другой кредит относится к потребительскому кредитованию, проще говоря, к покупке в рассрочку. Условия покупки таковы: при получении товара оплачивается 40% его стоимости, а через год вносится оставшаяся часть и 10% от стоимости товара в качестве платы за кредит. Доходность какого из вариантов кредита выше для кредитора?
1 вариант 10% годовых
2 вариант  годовых.
Таким образом, одно и то же число, фигурирующее в различных кредитных договорах в качестве процента, часто означает разные действительные цены кредита.
20% годовых вперёдэто совсем не то, что20% послепользования кредитом.
Действительно, при уплате 20% вперёд заёмщик получает на руки 80% кредита и возвращает 100% через год, т.е. платит  годовых.
В жизни и крупные кредиты и мелкие займы часто получаются, и возвращаются не сразу, а тоже частями, поэтому не зная основ финансовой математики, люди плохо ориентируются в этих своеобразных ценах рынка ссудного капитала.
Важность общего стандарта цен кредитов сложно переоценить. Ведь заёмщиками в рыночной экономике выступают все: владельцы кредитных карт, покупатели в рассрочку, фирмы, государство.
В США даже принят закон – Закон о защите потребительского кредита, который требует информировать заёмщиков об истинной цене кредита, т.е. об эффективной ставке процента, а также о номинальном превышении суммы, уплачиваемой в рассрочку, над ценой приобретаемого товара. Это позволяет защищать граждан от финансовых жуликов, делая понятными «ценники в финансовом мире».
Как вычислять эффективную ставку процента:
1 ) Для кредита с разовым кредитованием и разовым возвратом суммы кредита плюс суммы процента
Пусть сумма кредита, а за сумма к возврату через время . Тогда  , где  .
При этом не важно, меньше или больше года величина , важно, чтобы время было выражено в годах.
ПримерДопустим на 3 месяца дан кредит под 40% годовых. Соответственно по банковскому обыкновению (на по формуле простых процентов), за три месяца будет начислено 10% годовых.
| | Теперь выясним, какая из форм расчётов (процентов) наиболее выгодна для вкладчика (кредитора) и заёмщика. Для этого произведём вычисления будущей стоимости денег различными рассмотренными выше способами, сравним их и сделаем выводы.
|
Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...
|
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...
|
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...
|
Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...
|
|
Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов...
Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...
Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...
|
|
Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...
Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...
Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...
|
|
