Задача №3.

Дано:

m = 0,3 кг

0,2 c

V₀ = 4 м/с

Фп

Fтр

N̅

R = 4 м

V

D

C

фт

B

xx

V

f = 0,1

N̅

А

Fупрр

V0

N̅

G̅

G̅

G̅

α = 30^o

G̅

M0

β = 20^o

β

G̅

Fтр

λ = 0,3 м

α

с = 200 Н/м

Найти:

V_B, V_C, V_D, N_c.

 

Рассмотрим участок BC и применим для него теорему об изменении кинетической энергии (Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил, действующих на систему)

– сумма работ внешних сил, где h – высота подъема шарика, а Fтр – сила трения.

Следовательно,

 

 

Для нахождения применим принцип Даламбера (В любой момент времени векторная сумма всех активных сил, всех реакций связей и мысленно приложенной силы инерции равна нулю):

F̅ + R̅ + φ̅ = 0

Сила инерции по модулю равна массе тела, умноженной на её ускорение, а по знаку – противоположна.

φ̅ = - mw̅

Также, она состоит из касательной и центробежной составляющих.

φ̅ = φ̅_n +φ̅_τ

|φ̅_τ| = |φ_n| = , где ρ = R = 4.

Рассмотрим участок BC и применим для него теорему об изменении кинетической энергии (Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил, действующих на систему):

 

Запишем теорему об изменении импульса (Разность импульсов в конечной и начальной точках движения равна сумме всех сил, действующих на точку, умноженную на время прохождения точкой этого участка):

mV̅_D – mV̅_B =

Рассмотрим участок BD и применим для него теорему об изменении импульса:

Из этого уравнения мы находим Vd

 

 

Этап №3. Определение скоростей точек системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

Дано:

m1 = 200 кг m2 = 40 кг m3 = 70 кг m4 = 50 m5 = 100 r2 = 19 см R2 = 24 см i2 = 22 см r3 = 22 см R3 = 28 см i3 = 25 см R4 = 11 см MC2 = 90 Нм MC3 = 100 Нм S = 2,1 м

C2

V̅C2

Найти:

V1 =?

V̅В1

B1

A1

ω3

ω2

V̅1

V̅5

V̅С

A1

V̅A1

4 cMeWxbHFrPU1YFv6uGIsT2LEB9WJ0oF+xv0wi6+iiRmOb+c0dOJ1aFYB7hcuZrMEwrm0LNyZueXR dexS5NxT/cycbYkZkNH30I0nm7zgZ4ONNw3M1gFkmch7qGrbAJzpRP92/8SlcXxOqMOWnP4GAAD/ /wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQCp+cWX4AAAAAkBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/BTsMwEETv SPyDtUjcqEMoNIQ4VRWpQkJwaOmlt03sJhH2OsRuG/h6lhPcdrSjmTfFcnJWnMwYek8KbmcJCEON 1z21Cnbv65sMRIhIGq0no+DLBFiWlxcF5tqfaWNO29gKDqGQo4IuxiGXMjSdcRhmfjDEv4MfHUaW Yyv1iGcOd1amSfIgHfbEDR0OpupM87E9OgUv1foNN3Xqsm9bPb8eVsPnbn+v1PXVtHoCEc0U/8zw i8/oUDJT7Y+kg7Cs53e8JSqYZwsQbOA6PmoFj2kKsizk/wXlDwAAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAA ACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQIt ABQABgAIAAAAIQAkcQ2HjwIAAG0FAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBL AQItABQABgAIAAAAIQCp+cWX4AAAAAkBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAOkEAABkcnMvZG93bnJldi54 bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA9gUAAAAA " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

C

P

ω4

B2

A2

 

 

Эта задача на данном этапе решается с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы (Разность начальной и конечной кинетической энергии системы равна сумме работ внешних сил).

Для применения этой теоремы необходимо будет найти суммарную кинетическую энергию системы в начальном и конечном положении. Т.к. в начальном положении система находилась в покое, то кинетическая энергия в этот момент равна нулю.

Найдем значение кинетической энергии системы в конечном положении, она равна сумме кинетических энергий всех тел системы:

T = T₁ + T₂ + T₃ + T₄ + T₅ =

Исходя из схемы системы, выразим все неизвестные в этом выражении через скорость первого тела:

V₁ = V_A1 = ω₂R₂, откуда ω₂ =

V_A2 = ω₂r₂ = ω₃R₃, откуда ω₃ =

V_B2 = ω₃r₃ = , откуда ω₄ =

Момент инерции тел 2,3,4 вычисляется по формуле:

I_z =

I_z4 = =3

 

Если теперь подставить всё это в формулу кинетической энергии и вынести за скобку , то всё, что останется в скобке, обозначим за приведенную массу. В итоге получим:

M_пр = m₁ +

 

 

Рисунок 2. Силы и реакции опор в системе.

B1

A1

A2

B2

C

P

G1

G2

G4

G3

G5

 

Для составления правой части уравнения теоремы об изменении кинетической энергии, потребуется найти сумму работ всех внешних сил. Выпишем все внешние силы, действующие на систему и работы, которые они совершают:

1) Работа силы тяжести первого тела:

A(G₁) = m₁gS₁=4116

2) Работа момента сопротивления второго тела:

A(M_c2) = -M_c2ϕ₂₌

3) Работа момента сопротивления третьего тела:

A(M_c3) = -M_c3ϕ₃ =

4) Работа силы тяжести четвертого тела:

A(G₄) =

 

Связи между перемещениями находим из связей между скоростями:

ϕ₂ =

Сумма работ всех внешних сил:

F_пр. = 2508,12

Запишем теорему об изменении импульса:

,откуда = = 5,3 м/с.

 

 

Этап №4. Исследование поступательного, вращательного и плоскопараллельного движений тел при помощи дифференциальных уравнений движения.

m1 = 200 кг m2 = 40 кг m3 = 70 кг m4 = 50 m5 = 100 r2 = 19 см R2 = 24 см i2 = 22 см r3 = 22 см R3 = 28 см i3 = 25 см R4 = 11 см MC2 = 90 Нм MC3 = 100 Нм S = 2,1 м

Найти: W₁, ε₂, ε₃, ε₄, W₄, Т₂₃,T₃₄, T_45, T₄₀, I₄ =?

 

2) Мысленно разрежем тела друг от друга для получения внешних сил из внутренних. Рассмотрим каждое тело в отдельности:

(1) тело:

Т12

G

 

 

Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения.

m₁W₁ = m₁g – Т₁₂

200W₁ = 200 ˑ 9,8 – Т₁₂ (1)

(2) тело:

Х̅с

Т21

Y̅с

ω2

Mc2

Т23

g wR1a5ocWs9LXgG3p44qxPIkRH1QnSgf6BffDLL6KJmY4vp3T0InXoVkFuF+4mM0SCOfSsnBnniyP rmOXIuee6xfmbEvMgIy+h2482eSInw023jQwWwWQZSJvLHRT1bYBONOJ/u3+iUvj8JxQ+y05/Q0A AP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAhADA3y/7hAAAACQEAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxMj01Pg0AU Rfcm/ofJM3Fnh1JEShmahqQxMbpo7cbdwLwC6XwgM23RX+9zpcuXe3LvecV6MppdcPS9swLmswgY 2sap3rYCDu/bhwyYD9IqqZ1FAV/oYV3e3hQyV+5qd3jZh5ZRifW5FNCFMOSc+6ZDI/3MDWgpO7rR yEDn2HI1yiuVG83jKEq5kb2lhU4OWHXYnPZnI+Cl2r7JXR2b7FtXz6/HzfB5+HgU4v5u2qyABZzC Hwy/+qQOJTnV7myVZ1rAIl0uCaVg/gSMgCTOEmC1gDRZAC8L/v+D8gcAAP//AwBQSwECLQAUAAYA CAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBL AQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BL AQItABQABgAIAAAAIQBSkqeskQIAAG0FAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAwN8v+4QAAAAkBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAOsEAABkcnMvZG93bnJl di54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA+QUAAAAA " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

G̅2

 

 

 

Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения:

Т₂₁ = - Т₁₂

 

 

Y̅3

(3)

ω3

Т32

тело: 4 bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA9gUAAAAA " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

X̅3

G̅3

T̅34

M̅c3

 

Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения:

J₃ε₃ = - M_c3 - T₃₄r₃ + Т₃₂R₃

J₃ = m₃i₃²

m₃i₃²ε₃ = - M_c3 - T₃₄r₃ + Т₃₂R₃

3,39ε₃ = -100 – 0,25T₃₄ – 0,28Т₂₃

 

(3)

 

 

(4) тело:

Т43

Т40

G̅4

ω3

 

Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения:

m₄W₄ = Т₄₅ - T₄₃ - T₄₀ (4)

ˑ ε₄ = (50 ˑ 9,8 + T₄₅) ˑ R₄ – T₄₃ ˑ 2R₄

 

 

5

Т54

Тело

 

G̅5

 

Составим уравнение

m₅W₅ = m₅g – Т₅₄

m₅W₅ = m₅g +Т₄₅

 

Составим уравнения кинематических связей:

V₁ = ω₂R₂ W₁ = ε₂R₂ (6)

ω₂r₂ = ω₃R₃ ε₂r₂ = ε₃R₃ (7)

ω₃r₃ = ω₄2R₄ ε₃r₃ = ε₄R₄ + r₄ (8)

V_c2 = ω₄R₄ W₄ = ε₄R₄ (9)

 

 

200W₁ = 200 ˑ 9,8 – Т₁₂ (1)

(2)
3,39ε₃ = -100 – 0,25T₃₄ – 0,28Т₂₃ (3)

50W₄ = Т₄₅ + 50 ˑ 9,8 - T₄₃ - T₄₀ (4)

3,125 ε₄ = (50 ˑ 9,8 + T₄₅) ˑ 0,11 – T₄₃ ˑ 0,22 (5)

100W₄ = 980 +Т₄₅ (6)

W₁ = 0,24ε₂ (7)

0,19ε₂ = 0,28ε₃ (8)
0,22ε₃ = 2ˑ0,11ε₄ (9)

W₄ = 0,11ε₄ (10)

 

Имеем систему из 9 уравнений с 9 неизвестными. Подставляем в (6) уравнение значение W₁ = 6,67 м/с (взятое из 5 этапа):

ε₂ = 27,5 рад/с²

Дальше по цепочке подставляем полученные значения.

Из (7): ε₃ = 18,7 рад/с²

Из (8): ε₄ = 18,7 рад/с²

Из (9): W₄ = 2,05 м/с²

Из (1): Т₁₂ = 640 H

Из (2): Т₃₂ = 1001,89 H

Из (2): Т₄₃ = 514,38 H

Из (2): Т₄₅ = 1070 H

Из (2): Т₄₀ = 943,12 H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этап №5. Применение уравнений Лагранжа второго рода к механическим системам с одной степенью свободы.

Дано:

m1 = 200 кг m2 = 40 кг m3 = 70 кг m4 = 50 m5 = 100 r2 = 19 см R2 = 24 см i2 = 22 см r3 = 22 см R3 = 28 см i3 = 25 см R4 = 11 см MC2 = 90 Нм MC3 = 100 Нм S = 2,1 м

C2

V̅C2

Найти:

W1 =?

V̅В1

B1

A1

ω3

ω2

V̅1

V̅5

V̅С

A1

V̅A1

C

P

p 5e6pxSz1KSDvBb4elicx+gc1iNKBvsXVn8esaGKGY+6K8uAG5TR0e46PBxfzeXLDpbMsXJhryyN4 ZDXOyc36ljnbT17Aob2EYffYNI1UN6s73xhpYL4MIJswDFbHa883Lmya7/5xiS/CUz157Z7A2S8A AAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQChEDHl3QAAAAoBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/NTsMw EITvSLyDtUhcEHUaWighToWQOCCkSgQeYBNvfkS8jmI3DW/P9gTHmf00O5PvFzeomabQezawXiWg iGtve24NfH2+3u5AhYhscfBMBn4owL64vMgxs/7EHzSXsVUSwiFDA12MY6Z1qDtyGFZ+JJZb4yeH UeTUajvhScLdoNMkudcOe5YPHY700lH9XR6dgdq2b9iUvpyrzfi+Izw0D9WNMddXy/MTqEhL/IPh XF+qQyGdKn9kG9Qgev24FtRAmqSgBLjbno1KjO0mBV3k+v+E4hcAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAA ACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQIt ABQABgAIAAAAIQCrzfbekgIAAEoFAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBL AQItABQABgAIAAAAIQChEDHl3QAAAAoBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAOwEAABkcnMvZG93bnJldi54 bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA9gUAAAAA " adj="2667" filled="f" strokecolor="black [3200]" strokeweight="2pt"/>

ω4

B2

A2

 

Дифференциальное уравнение Лагранжа:

Где Q_j – обобщенная сила

S – число степеней свободы

j = 1,2….S

q_j – обобщенная координата

– обобщенная скорость

Применительно к нашей задаче:

S = 1

q = x

Сумма кинетических энергий всех тел будет записана как:

T =

Уравнение Лагранжа для нашей задачи:

(1)

 

0 (т.к. уравнение Т не содержит х, а только V1)

 

Проделаем следующие операции:

Для определения обобщенной силы, соответствующую обобщенной координаты необходимо записать выражение для элементарной работы всех активных сил на возможные перемещения точек системы. В этом выражении вынести за скобку возможных перемещений обобщенные координаты, и тогда выражение в скобках будет называться обобщенной силой.

Проделаем следующие операции:

Для определения обобщенной силы, соответствующей обобщенной координате, необходимо записать выражение для элементарной работы всех активных сил на возможные перемещения точек системы. В этом выражении вынести за скобку возможных перемещений обобщенные координаты, и тогда выражение в скобках будет называться обобщенной силой.

Связь между перемещениями берем из связи между скоростями:

Подставим это в формулу (1):

откуда W₁ = = 6,67 м/с²

Ответ: W₁ = 6,67 м/с².