Критерий совместности Кронекера-Капелли

Суть этого метода состоит в том, что посредством последовательного исключения неизвестных матрица системы превращается в треугольную, равносильную данной. Удобнее приводить к трапециевидному виду расширенную матрицу системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x₁ + x₂ – 3x₃ = 2,

3x₁ – 2x₂ + x₃ = - 1,

2x₁ + x₂ – 2x₃ = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x₁ + x₂ – 3x₃ = 2,

-5x₂ + 10x₃ = -7,

- 10x₃ = 13.

Из последнего уравнения находим x₃ = -1,3.

Подставляя это значение во второе уравнение, имеем x₂ = -1,2.

Далее из первого уравнения получим x₁ = - 0,7.

 

Решение систем линейных уравнений

Критерий совместности Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений имеет вид:

где а _ij – коэффициенты при неизвестных, b_i – свободные члены м(i = ; j = ), x_j - неизвестные.

Решением системы называется такая совокупность n чисел (x₁=c₁, x₂=c₂,..., x_n=c_n), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Система называется несовместной, если она не имеет решений.

Пример:

- система уравнений совместная и определенная, так как имеет единственное решение (10; 0);

- система уравнений несовместная;

- система уравнений совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения (x₁=c, x₂=10-2c), где с – любое число.

Запишем систему уравнений в матричной форме

AX = B,

где - матрица коэффициентов при неизвестных, называемая матрицей системы, - столбец переменных, столбец свободных членов.

Если к матрице системы приписать столбец свободных членов, то получится расширенная матрица системы вида

.

Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда ранг матрицы совместной системы равен числу переменных r(A) = n.

Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.