Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение

1. Теле - и аудиоаппаратура, CD (учебные программы) доступ к сети Интернет (во время самостоятельной подготовки).

Интернет-ресурсы

Вид	Наименование программного продукта	назначение
Интернет-сайт	www.pages.infinit.net/jaser2	обучающие тесты
Интернет-сайт	www.igsmail.com/cdr/pages/bac.html	обучающие тесты
Интернет-сайт	www.wfi.fr/volterre/liensweb.html	информационный сайт для самостоятельной работы
Интернет-сайт	www.m-paris.ru	информационный сайт для самостоятельной работы
Интернет-сайт	www.infrance.ru	информационный сайт для самостоятельной работы
Интернет-сайт	www.francomania.ru	информационный сайт для самостоятельной работы
Интернет-сайт	www.archive.travel.ru	информационный сайт для самостоятельной работы
Интернет-сайт	www.france-paris-info.ru	информационный сайт для самостоятельной работы

 

 

 

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Иностранный язык (специальные тексты)»

(французский)

 

 

Подписано в печать _______. Формат 60´84/16. Бумага для множ. аппаратов.

Печать плоская. Усл. печ. л. 1,860. Уч.-изд. л. 1,986. Тираж экз. Заказ № __.

ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ризограф ФГАОУ ВПО РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ответы

1. 2,85. 2. 9, 18,3. 3. 11,3. 4. 48. 5. 17. 6. 1/7. 7. 0,75 .8. 4,5. 9. 1/α.

Вопросы

1.Как определяется математическое ожидание дискретной случай­ной величины X, принимающей конечное множество значений?

2. Какие другие названия используют для математического ожида­ния? Чем объясняются эти названия?

3. Что называют математическим ожиданием дискретной случайной величины X, принимающей счетное множество значений?

4. Как определяется математическое ожидание непрерывной слу­чайной величины, все значения которой принадлежат отрезку [α,β]

5. Как определяется математическое ожидание непрерывной слу­чайной величины, все значения которой принадлежат бесконечному промежутку (- , + )?

6. Каковы свойства математического ожидания случайной величины?

7. Какому условию должны удовлетворять случайные величины X и Y, чтобы выполнялось равенство (2.4.15)?

8. Докажите, что математическое ожидание неотрицательной дис­кретной величины неотрицательно.

Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение

Разность Х—М(Х) называется отклонением случайной величины X от ее математического ожидания М(Х). Математическое ожидание от­клонения равно нулю:

 

М(Х-М(Х))=0. (2.5.1)

 

Дисперсией, или рассеянием, случайной величины X называемся ма­тематическое ожидание квадрата ее отклонения:

D(Х) = M((Х - М(Х))²). (2.5.2)

Из определения и свойств математического ожидания следует, что дисперсия любой случайной величины неотрицательна, т.е.

D(Х) 0. (2.5.3)
Дня вычисления дисперсии применяется формула

D(X)=M(X²)-(M(X))². (2.5.4)

Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(С) = 0 (С = соnst). (2.5.5)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, воз­водя его в квадрат:

D(СХ) = С ² D(Х) (С = соnst). (2.5.6)

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(Х + У) = D(Х) + D(У). (2.5.7)

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X-У)= D(Х)+D(У). (2 5.8)

3 а м e ч а н и e. Свойство 3 распространяется на n независимых случайных величин:

D(X₁+ Х₂ +... + Х_n ) = D (Х₁) +D (Х₂) +...+D(Х_n). (2.5.9)
Дисперсия дискретной случайной величины с законом распределения

P(X=x_k)=p_k (k=1,2,...,/1),

определяется формулой

D(X)= (2.5.10)

или формулой

 

D(X)= (2.5.10 a)

где

а = М(Х) (2.5.11)

- другое обозначение для математического ожидания. Этим обозначени­ем будем пользоваться и в дальнейшем, в зависимости от обстоятельств. Если дискретная случайная величина принимает бесконечную по­следовательность значений с законом распределения

P(X=x_k)=pk (k=1,2,3,…)

то ее дисперсия определяется формулой

 

D(X)= (2.5.12)

 

при условии, что этот ряд сходится.

Дисперсия непрерывной случайной величины X, все значения которой принадлежат отрезку [α,β], определяется формулой

 

D(X)= (2.5.13)

 

где р(х) - плотность распределения вероятностей этой величины, а = М(Х) - ее математическое ожидание. Дисперсию можно вычислять по формуле

 

D(X)= . (2.5.14)

 

Дисперсия непрерывной случайной величины X, всё внимания которой принадлежат отрезку (- ,+ ), определяется формулой

 

D(X)= (2.5.15)

 

если этот несобственный интеграл сходится абсолютно.

 

Средним квадратическим отклонением, или стандартным откло­нением, случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:

 

(2.5.16)

 

Это определение имеет смысл, поскольку выполнено условие (2.5.3).

Пример 1. Доказать формулы (2.5.1) и (2.5.4).

Решение. Так как математическое ожидание М(Х) - постоянная величина, математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий, то

 

M(X-M(X))=M(X)-M(M(X))=M(X)-M(X)=0;

 

равенство (2.5.1) доказано.

Учитывая свойства математического ожидания, получаем

 

D(X)=M((X-M(X))²)=M(X²-2XM(X)+(M(X))²)=

=М(Х²)-2М(ХМ(Х))+M((М(Х))²)=М(Х²)-2М(Х)М(Х) + (М(Х))² = М(Х²)-(М(Х))²,

равенство (2.5.4) доказано.

Пример 2. Доказать равенства (2.5.5) - (2.5.8).

Решение. Принимая во внимание определение дисперсии и тот факт, что математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, получаем

 

D(C)=M((C-M(C))²)=M((CX-CM(X))²)=

=M(C²*(X-M(X))²)=C²M((X-M(X))²)=C²D(X).

Для доказательства формулы (2.5.8) воспользуемся формулой (2.5.4):

 

D(X+Y)=M((X+Y)²)-(M(X+Y))²=M(X²+2XY+Y²)-(M(X)+M(Y))²=M(X²)+M(2XY)-M(Y²)-[(M(X))²+2M(X)M(Y)+(M(Y))²]=M(X²)+2M(X)M(Y)+M(Y²)-(M(X))²-2M(X)M(Y)-(M(Y))²=

=M(X²)-(M(X))²+M(Y²)-(M(Y))²=D(X)+D(Y).

 

 

Равенство (2.5.8) следует из формул (2.5.6) и (2.5.7):

D(Х - У) = D (Х + (-Y)) = D (Х) +D(-У) - D (Х) + (-1)² D(У) = D (Х) +D(У).

 

Пример 3. Дискретная случайная величина А' имеет закон распреде­ления

Х
р	0,3	0,5	0,2

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной ве­личины X.

Решение. По формуле (2.4.3) находим

 

М(Х)=0*0,3+1*0,5+2*0,2=0,9.

 

Запишем закон распределения квадрата отклонения этой величины, т.е. величины (X -М(Х)}²:

(Х-М(Х))2	(0-0,9)2	(1-0,9)2	(2-0,9)2
р	0,3	0,5	0,2

По формуле (2.5.10) получаем

D(Х) = (0 - 0,9)² • 0,3 + (1 - 0,9)² • 0,5 + (2 - 0,9)² 0,2 = = 0,81 • 0,3 -4- 0,01 • 0,5 4-1,21 • 0,2 = 0,49.

В соответствии с формулой (2.5.16) находим среднее квадратиче­ское отклонение

σ(Х) = .

Замечание. Дисперсию можно вычислить и по формуле (2.5.4). Найдем для этого математическое ожидание квадрата случайной величины X, предвари­тельно записав закон распределения случайной величины X2:

X2
р	0,3	0,5	0,2

 

 

По формуле (2.4.3) находим

М(X²) = 0 0,3 + 1-0,5 + 4 0,2 = 1,3.

В соответствии с формулой (2.5.4) находим

D(Х) = М(Х²)-(М(Х))² =1,3-0,9² = 1,3-0,81 = 0,49.

 

Пример 4. Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей

X	-2	_ 1
р	0,1	0,2	. 0,4	0,2.	0,1

Вычислить дисперсию случайной величины X по формуле (2.5.4) и по формуле (2.5.10).

Решение. Сначала найдем математическое ожидание случайной величины X:

М(Х) = -2 • 0,1 -1 • 0,2 + 0 • 0,4 + 1 • 0,2 + 2 • 0,1 = 0. Запишем закон распределения случайной величины (X - М(Х))²:

 

(Х-М(Х))1	(-2 -0)2	(-1-0)2	(0-0)2	(1-0)2	(2 - 0)2
р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

и найдем дисперсию случайной величины X по формуле (2.5.10):

D (Х) = 4 • 0,1 +1 • 0,2 + 0 • 0,4 +1 • 0,2 + 4 - 0,1 = 1,2.

 

Квадрат случайной величины X т.е. X² - это новая случайная вели­чина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина Л", принимает значения, равные квадратам ее значений.

Квадраты значений случайной величины X равны: (-2)²=4, (-1)²=1, 0²=0, 1²=1, 2² =4, т.е. величина X² принимает значения х₁ = 0, х₂ = 1,

х ₃ = 4. Закон распределения случайной величины X² можно записать в виде:

X2
р	0,4	0,4	0,2

Вероятность 0,4 для значения х₂ = 1 получена по теореме сложения вероятностей, с которыми случайная величина X принимает значения -1 и 1.

аналогично получена вероятность 0,2 для значения х ₃ = 4.

 

По формуле (2.4.3) находим

М(Х²) = 0 • 0,4 +1* 0,4 + 4 • 0,2 = 1,2.

Следовательно, по формуле (2.5.4) имеем

 

 

D(X)=M(X2)-(M(X))2=1,2-0=1,2.

 

 

Пример 5. Симметричная монета подбрасывается 4 раза. Случайная величинаX- "число выпадений герба при этих подбрасываниях". Найти числовые характеристики случайной величины X: М(Х), D (Х), σ (Х).

Решение. Данная дискретная случайная величина X может принимать 5 значений х₁=0,х₂=1,х₃=2,х₄=3,х₅=4.

 

Закон распределения случайной величины (Х-М(Х))² имеет вид:

X
Р	1/16	4/16	6/16	4/16	1/16

 

Находим математическое ожидание М(Х):

М(Х) = 0-1/16 + 1-4/16 + 2 -6/16 + 3- 4/1 6 + 4 -1/16 =2.

Закон распределения случайной величины (X - М(Х))² имеет вид:

(Х-М(Х))2	(0-2)2	(1-2)2	(2-2)2	(3-2)2	(4-2)
р	1/16	4/16	6/16	4/16	1/16

 

Вычислим дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)

D(X)= 4 -1/16 + 1 • 4/164- 0 • 6/16 + 1-4/16 ч- 4 -1/16 = 1,

σ(Х)= =1.

Пример 6. Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа очков, выпадающих при подбрасывании игрального кубика.

Решение. Запишем сначала закон распределения этой случайной величины в виде таблице

Х
Р

 

Найдем математические ожидания М(Х) и М(Х²):

 

М(Х)=1* +2* +3* +4* +5* +6* = ;

 

М(Х²)= 1* +2²* +3²* +4²* +5²* +6²* = .

 

Дисперсию вычислим по формуле (2.5 4):

 

D(X)=M(X²)-(M(X))²= - = - = = .

Пример 7. Даны все возможные значения дискретной случайной величины Х: х₁=1,х₂=2,х₃=3,а также известны М(Х)=2,3, М(Х²)=5,9. Найти закон распределения случайной величины Х.

 

Решение. Запишем законы распределения дискретных случайных величин X и X ²:

X					X2
Р	Р1	Р2	Рз		р	Р1	Р2	Р3

 

Где Р₁, Р_2, Р₃ пока неизвестны, причём Р₁+ Р₂ +Рз=1

Используя условие, получаем систему двух уравнений с тремя неиз­вестными

 

 

 

Поскольку Р₁+ Р₂ +Рз=1 и Рз=1- Р₁- Р₂, то система уравнений принимает вид

 

откуда Р₁ =0,2, Р₂ =0,3. Поэтому Р₃ =1- Р₁ - Р₂ =0,5.

 

Итак, закон распределения случайной величины Х определяется таблицей

 

X
Р	0,2	0,3	0,5

 

Пример 8. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения х₁ и х₂, причем, x₁,<x₂. Известны вероятность р= 0,5, математическое ожидание М(Х) = 3,5 и дисперсия D(Х) = 0,25. Найти закон распределения дискретной случайной величины X.
Решение. Поскольку p₁₊p₂=1 (см. формулу (2. 1. 2)) и p₁, = 0,5, то р₂= 0,5;

М(Х)= 0,5x₁+ 0,5х₂ = 3,5, откуда х₁ +х₂ =7. По формуле (2.5.12) находим
,

Решая систему уравнений

 

и учитывая условие х₁ < х₂, получаем, х₁ = 3, х₂ = 4. Следовательно,

Р(Х = 3) = 0,5, Р(Х= 4) = 0,5.

Пример 9. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х),σ (X) непрерывной случайной величины X, заданной плотностью распределения

Решение. Сначала находим М(Х) по формуле (2.4.7):
M(X)=3.

В соответствии с формулой (2.5.13) найдем D(X)

, D(X)=1/3.

По формуле (2.5.16) находим

.

Пример 10. Найти числовые характеристики М(Х), D(Х),σ (X) непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью вероятностей

 

Решение. С помощью формулы (2.4.7) находим математическое ожидание:
.

 

 

По формулам (2.5.13) и (2.5.16) соответственно получаем

Пример 11. случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики случайной величины Х: М(Х), D(X), σ(X).

Решение. Сначала найдем плотность распределения р(х) с помощью формулы (2.3.5). так как р(х)=F’(x), то