Часть I. Элементы теории

7. Системы линейных равенств и неравенств. Теоремы об альтернативах. Лемма Фаркаша. Линейные матричные неравенства.

8. Выпуклые, строго выпуклые и сильно выпуклые функции. Определения, примеры, свойства. Множество уровня выпуклой и сильно выпуклой функции. Эпиграф функции, свойства эпиграфа выпуклой функции.

9. Непрерывность и дифференцируемость по направлению выпуклой функции. Дифференциальные критерии выпуклой (сильно выпуклой) функции.

10. Субдифференциал функции. Существование и свойства субдифференциала. Теорема о субдифференциале суммы выпуклых функций.

11. Индикаторная функция множества. Субдифференциал индикаторной функции выпуклого множества. Субдифференциал выпуклой функции на выпуклом множестве. Опорная функция множества.

12. Сопряженные и полярные функции, их свойства. Неравенства Юнга–Фенхеля и Минковского–Малера. Примеры сопряженных и полярных функций.

13. Теорема Вейерштрасса и её следствия. Выпуклая задача минимизации. Теорема о глобальном экстремуме. Условия оптимальности выпуклых задач минимизации в терминах субдифференциалов.

14. Касательное направление, касательный конус. Конус возможных направлений. Их свойства. Теорема о необходимом условии экстремума в терминах производных по касательному направлению. Необходимое и достаточное условие экстремума для выпуклой задачи в терминах производных по направлению.

15. Необходимое и достаточное условия экстремума дифференцируемой функции на выпуклом множестве. Вариационное неравенство. Необходимые и достаточные условия экстремума для задачи безусловной минимизации (БМ).

16. Необходимые и достаточные условия оптимальности для задач математического программирования. Условия Каруша–Куна–Таккера. Достаточные условия второго порядка. Условия регулярности ограничений. Необходимые и достаточные условия оптимальности для выпуклой задачи математического программирования. Регулярная и нерегулярная задачи математического программирования.

17. Функция Лагранжа для задач математического программирования и ее свойства. Седловая точка функции Лагранжа.

18. Теория двойственности для задач математического программирования. Задача линейного программирования и двойственная к ней. Собственные и несобственные задачи математического программирования. Двойственность для несобственных задач линейного программирования.